題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分12分）
為了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.
（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.
（本題滿分12分）為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若
干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組
[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如
圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.
（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.
（本題滿分12分）為了了解某年級1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.
（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.
（本題滿分12分）為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若
干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組
[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如
圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.
（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.
（本小題滿分12分）
第8屆中學生模擬聯合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
男 女
15
7 7 8 9 9 9
9 8 16 0 0 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 5 6
7 4 2 1 18 0
1 0 19
若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個子”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人，則應分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人？
（2）從（1）中抽出的6人中選2人擔任領座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
1．1 2．
3．
4．－8 5．
6．20
7．
8．1 9．0 10．
11．
12．
13．
14．（1005，1004）
15．⑴ ∵ 
，………………… 2分
又∵ 
，∴
而
為斜三角形，
∵
，∴
. ……………………………………………… 4分
∵
，∴
. …………………………………… 6分
⑵∵
，∴
…12分
即
，∵
，∴
.…………………………………14分
16．⑴∵
平面
，
平面，所以
，…2分
∵是菱形，∴
，又
，
∴
平面
，……………………………………………………4分
又∵平面
，∴平面
平面
． …………………………6分
⑵取
中點
，連接
,則
，
∵是菱形，∴
，
∵
為
的中點，∴
，………………10分
∴
．
∴四邊形
是平行四邊形，∴
，………………12分
又∵
平面
，
平面．
∴
平面． ……………………………………14分
17．解：（1）依題意數列
的通項公式是
，
故等式即為
，
同時有
，
兩式相減可得
…………………3分
可得數列
的通項公式是
，
知數列是首項為1，公比為2的等比數列。 ………6分
18．解：（Ⅰ）當9天購買一次時，該廠用于配料的保管費用
P=70+
=88(元)
……………4分
（Ⅱ）（1）當x≤7時
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
（2）當 x>7時
y=360x+236+70+6[(
)+(
)+……+2+1]
=
………7分
∴
………8分
∴設該廠x天購買一次配料平均每天支付的費用為f(x)元
…………11分
當x≤7時
當且僅當x=7時
f(x)有最小值
（元）
當x＞7時
=
≥393
當且僅當x=12時取等號
∵393<404
∴當x=12時 f(x)有最小值393元 ………16分
19．（1）∵直線
過點
，且與圓
：
相切，
設直線
的方程為
，即
， ……………2分
則圓心
到直線的距離為
，解得
，
∴直線的方程為
，即．…………4分
（2）對于圓方程
,令
，得
,即
．又直線
過點
且與
軸垂直，∴直線方程為
，設
，則直線
方程為
解方程組
,得
同理可得,
……… 10分
∴以
為直徑的圓
的方程為
，
又
，∴整理得
，………… 12分
若圓經過定點，只需令
，從而有
，解得
，
∴圓總經過定點坐標為
．
……………………… 14分
22．解：（Ⅰ）
，………………1分
又
，
處的切線方程為
…………3分
（Ⅱ）
，
…………………………………………4分
令
，
則
上單調遞增，
上存在唯一零點，
上存在唯一的極值點………6分
取區間
作為起始區間，用二分法逐次計算如下
區間中點坐標
中點對應導數值
取區間
1
0.6
0.3
由上表可知區間的長度為0.3，所以該區間的中點
，到區間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的相應x的值。
取得極值時，相應
………………………9分
（Ⅲ）由
，
即
，
，………………………………………12分
令
令
上單調遞增，
，
因此
上單調遞增，
則
，
的取值范圍是
………………………………………16分
數學附加題參考答案及評分標準
因為EA切
于A， 所以∠EAB＝∠ACB．
因為
，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．
于是∠EAB＝∠ACD． ……………………………………………4分
又四邊形ABCD內接于，所以∠ABE＝∠D．
所以
∽
．
于是
，即
．
所以
． ……………………………10分
21B．解：設
為曲線
上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點
，
則有
，…………………………………4分
即
所以
……………………………………………………8分
又因為點P在曲線上，所以
，
故有
即所得曲線方程
.………………………………………………… 10分
的極坐標方程化為直角坐標方程為
，
即
，它表示以
為圓心，2為半徑的圓， ………………………………4分
直線方程
的普通方程為
，
………………………………6分
圓C的圓心到直線l的距離
，……………………………………………………………………8分
故直線被曲線截得的線段長度為
． ……………………………………10分
21D．解：由柯西不等式，得 
．
………………………………10分
22．以點為坐標原點, 以
分別為
軸,建立如圖空間直角坐標系, 不妨設 
則
所以
設平面
的法向量為
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