Question

（本題滿分12分）

為了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.

（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；

（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；

（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.

 

Answer 1

【答案】

（1）320人；

（2）50個學生；

（3）

【解析】(1)根據頻率分布直方圖可知每個區間上對應矩形的面積就是這個區間上的頻率.據此先求出百米成績在[16,17)內的頻率,進而可確定此區間上的人數.

（2）根據前三組的頻率比再結合各組上對應矩形的面積和為1,可求出前三組每組對應的頻率，從而可求出抽取的學生數.

（3）本小題屬于古典概型概率問題，可以先求出第一組的學生數，和第五組的學生數，然后求出總的基本事件的個數，再求出兩個成績的差的絕對值大于 1秒包含的基本事件的個數，再利用古典概型概率公式計算即可.

解：（1）百米成績在[16,17)內的頻率為0.321=0.32. 0.321000=320

∴估計該年段學生中百米成績在[16,17)內的人數為320人.   ……2分

（2）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x ，19x 依題意，得

3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02     ……………………4分

設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，則    ∴n=50

∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績.     ………………6分

（3）百米成績在第一組的學生數有30.02150=3，記他們的成績為a，b，c

百米成績在第五組的學生數有0.08150= 4，記他們的成績為m，n，p，q

則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有

{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{

c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21個          ……9分

其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12個，……10分

所以P= 

答：兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率為       ……12分