在數列中， 記

（Ⅰ）求、、、并推測；

（Ⅱ）用數學歸納法證明你的結論.

【解析】第一問利用遞推關系可知，、、、，猜想可得

第二問中，①當時，=，又，猜想正確

②假設當時猜想成立，即，

當時，

=

=，即當時猜想也成立

兩步驟得到。

（2）①當時，=，又，猜想正確

②假設當時猜想成立，即，

當時，

=

=，即當時猜想也成立

由①②可知，對于任何正整數都有成立

一次圍棋擂臺賽，由一位職業圍棋高手設擂做擂主，甲、乙、丙三位業余圍棋高手攻擂．如果某一業余棋手獲勝，或者擂主戰勝全部業余棋手，則比賽結束．已知甲、乙、丙三人戰勝擂主的概率分別為p₁，p₂，p₃，每人能否戰勝擂主是相互獨立的．
（1）求這次擂主能成功守擂（即戰勝三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙順序攻擂，這次擂臺賽共進行了x次比賽，求x得數學期望；
（3）假定p₃＜p₂＜p₁＜1，試分析以怎樣的先后順序出場，可使所需出場人員數的均值（數學期望）達到最小，并證明你的結論．