Question

一次圍棋擂臺賽，由一位職業圍棋高手設擂做擂主，甲、乙、丙三位業余圍棋高手攻擂．如果某一業余棋手獲勝，或者擂主戰勝全部業余棋手，則比賽結束．已知甲、乙、丙三人戰勝擂主的概率分別為p₁，p₂，p₃，每人能否戰勝擂主是相互獨立的．
（1）求這次擂主能成功守擂（即戰勝三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙順序攻擂，這次擂臺賽共進行了x次比賽，求x得數學期望；
（3）假定p₃＜p₂＜p₁＜1，試分析以怎樣的先后順序出場，可使所需出場人員數的均值（數學期望）達到最小，并證明你的結論．

Answer 1

（1）設擂主能成功守擂的事件為A，三人攻擂獲勝的事件為B_i，i=1，2，3，則P（B_i）=p_i，
三人攻擂均失敗的概率為（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）．…3分
（2）比賽場數X=1，2，3．
X=1，比賽一場結束，則第一位業余棋手就獲勝，其概率為P（X=1）=p₁；
X=2，比賽二場結束，則第一位業余棋手攻擂失敗，第二位勝利，其概率是P（X=2）=（1-p₁） p₂；
X=3，比賽三場結束，則第一，二位業余棋手攻擂失敗，其概率為P（X=3）=（1-p₁）（1-p₂），
E（X）=p₁+2（1-p₁） p₂+3（1-p₁）（1-p₂）=3-2p₁-p₂+p₁p₂．…6分
（3）答按獲勝概率從大到小的順序出場，則所需出場人員數的均值為最小．…7分
下面證明以上結論．
設q₁，q₂，q₃是p₁，p₂，p₃的一個排列，如果按q₁，q₂，q₃有順序出場，
由（2）可得期望 E（X）=3-2q₁-q₂+q₁q₂．
因為△=（3-2q₁-q₂+q₁q₂）-（3-2p₁-p₂+p₁p₂）=2（p₁-q₁）+（p₂-q₂）+q₁q₂-p₁p₂=2（p₁-q₁）+（p₂-q₂）-（p₁-q₁）p₂-（p₂-q₂）q₁=（2-p₂） （p₁-q₁）+（p₂-q₂）（1-q₁）≥（1-q₁）（ p₁-q₁）+（p₂-q₂）（1-q₁）=（1-q₁）[（p₁+p₂）-（q₁+q₂）]≥0．
等號成立當且僅當q₁=p₁，q₂=p₂．
所以，按獲勝概率從大到小的順序出場，所需出場人員數的均值為最小．…10分