題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）甲、乙兩人準備參加中央電視臺組織的奧運志愿者選拔測試。已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道，乙能答對其中 的8道。規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道進行測試，至少答對2道才能入選。
（1）求甲答對試題數
的概率分布及數學期望。
（2）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率。
（本小題滿分12分）
甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們的培訓期間參加的若干次預賽成中隨機抽取8次，記錄如下
甲：82，91，79，78，95，88，83，84
乙：92，95，80，75，83，80，90，85
（I） 畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖；
（II） 現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學角度，你認為派哪位學生參加合請說明理由。
（III）
若將頻率視為概率，對學生甲在今后的三次數學競賽成績進行預測，記這三次成績中高于80分的次數為
，求的分布列及數學期望E
（本小題滿分12分）
甲、乙兩位學生參加數學建模競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預
賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲：72 71 69 68 85 78 83 74
乙：82 85 70 65 73 70 80 75
（Ⅰ）畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖，指出學生乙成績的中位數；
（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學建模競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適?請說明理由；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，對學生甲在今后的三次數學建模競賽成績進行預測，記這三次成績中高于80分的次數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．
（本小題滿分12分）
甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）用莖葉圖表示這兩組數據，并寫出乙組數據的中位數；
（2）經過計算知甲、乙兩人預賽的平均成績分別為
，甲的方差為
，現要從中選派一人參加數學競賽，你認為選派哪位學生參加較合適？請說明理由；
（3）現規定80分以上為合格成績，90分以上為優秀成績，從甲的合格成績中隨機抽出2個，則抽出優秀成績的概率有多大？
（本小題滿分12分）
甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）用莖葉圖表示這兩組數據，并寫出乙組數據的中位數；
（2）經過計算知甲、乙兩人預賽的平均成績分別為
，甲的方差為
，現要從中選派一人參加數學競賽，你認為選派哪位學生參加較合適？請說明理由；
（3）現規定80分以上為合格成績，90分以上為優秀成績，從甲的合格成績中隨機抽出2個，則抽出優秀成績的概率有多大？
一、
1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9．D 10．A
11．A 12．B
1．由題意知
，解得
或
，故選B．
2．原不等式即為
，化得
，解得
．故選A．
3．由條件
．對上
，所以
又
，所以
．故選D．
4．設
到
的角為
的斜率
的斜率
，
則
，于是
．故選D．
5．由
解得
，即其反函數為
，又在原函數中由
得
，即其反函數中
．故選C．
6．不等式組化得 
或
平面區域如圖所示，陰影部分面積：
，故選B．
7．由已知得
，而
．故選A．
8．
．故選c．
9．令
，則
，即
的圖象關于（0，0）點對稱，將的圖象向下平移6個單位．得題中函數的圖象，則它的對稱中心為（0，
）．故選D．
10．
．故選A．
11．由條件得：
，則
得
，所以
．故選A．
12．由已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內切圓是球的大圓．設底面正三角形的邊長為
，球半徑為
，則
，又
，解得
，則
，于是
．故選B．
二、
13．
與
平行，
，解得
即
14．設數列
的公比為
，則
，兩式相除，得
，則
．
所以
．
15．由題意知，直線
是拋物線
的準線，而
到的距離等于到焦點
的距離．即求點到點
的距離與到點
的距離和的最小值，就是點與點的距離，為
．
16．一方面．由條件，
，得
，故②正確．
另一方面，如圖，在正方體
中，把
、
分別記作、
，平面
、平面
、平面
分別記作
、
、
，就可以否定①與③．
三、
17．解：
，且
，即
又
．
由正弦定理
又
即
的取值范圍是區間
．
18．解：（1）設甲、乙兩人通過測試的事件分別為、
，則
，
、相互獨立，∴甲、乙兩人中只有1人通過測試的概率
．
（2）甲答對題數
的所有可能值為
∴甲答對題數的數學期望為
．
19．解：（1）由已知
，∴數列
的公比
，首項
又數列
中，
的公差
，首項
（
時也成立）
∴數列、
的通項公式依次為
．
（2）記
當
時，
和
都是增函數
即時，
是增函數
當
4時，
；
又
時
或，∴不存在
，使
．
20．（1）證明；在直三棱柱
中，
面
又
面
，而
面
，
∴平面
平面
（2）解：取
中點
，連接
交
于點，則
．
與平面所成角的大小等于與平面所成角的大小，取
中點
，連接
、
，則等腰三角形
中，
．
又由（1）得
面
．
面
為直線與面所成的角
又
，
∴直線與平面所成的角為
．
（注：本題也可以能過建立空間直角坐標系解答）
21．解：（1）設橢圓方程為
，雙曲線方程為
，半焦距
由已知得
，解得
，則
故橢圓及雙曲線方程分別為
及
．
（2）由向量的數量積公式知，
表示向量
與
夾角的余弦值，設
，即求
的值．
由余弦定理得
①
由橢圓定義得 
②
由雙曲線定義得
③
式②+式③得
，式②一式③
得
將它們代人式①得
，解得
，
所以
．
22，解：（1）由
得
要使在（0，1]上恒為單調函數，只需
或
在（0，1]上恒成立．
∴只需
或
在（0，1]上恒成立
記
或
（2）
，
∴由
得
化簡得
時有
，即
，
則
①
構造函數
，則
在
處取得極大值，也是最大值．
在
范圍內恒成立，而
從而
在范圍內恒成立．
∴在
時，
而
時，
，∴當
時，
恒成立
即時，總有
②
由式①和式②可知，實數的取值范圍是
．
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