題目列表(包括答案和解析)
正電子發射計算機斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國際領先技術，它為臨床診斷和治療提供全新的手段。
（1）PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑，氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質子轟擊氧16獲得的，反應中同時還產生另一個粒子，試寫出該核反應方程。
（2）PET所用回旋加速器示意如圖7.11，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側D形盒圓心處放有粒子源S，勻強磁場的磁感應強度為B，方向如圖所示。質子質量為m，電荷量為q。設質子從粒子源S進入加速電場時的初速度不計，質子在加速器中運動的總時間為t（其中已略去了質子在加速電場中的運動時間），質子在電場中的加速次數于回旋半周的次數相同，加速質子時的電壓大小可視為不變。求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U。
（3）試推證當
時，質子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的時間可忽略不計（質子在電場中運動時，不考慮磁場的影響）。
為驗證小燈泡（點光源）光能的球面散射規律并測定其發光效率，有同學設計并進行了如圖1所示的實驗：將一個“6V 8.0W”的小燈泡接入電路，使之正常發光，在燈泡燈絲的同一水平面、正對光線方向放一個光強探頭，以測定與光源間距為d時相應的光強值I，其測得以下9組數據（下表）；并用一數字圖象處理器將表內數據分別在I-d，I-d-1和I-d-2坐標平面內標得如下數據點，如圖2所示．| d/×10-2m | 6.50 | 7.50 | 8.50 | 9.50 | 10.5 | 11.5 | 12.5 | 13.5 | 14.5 |
| I/W?m-2 | 8.29 | 6.66 | 4.96 | 3.92 | 3.37 | 2.61 | 2.30 | 1.97 | 1.70 |
第二部分 牛頓運動定律
第一講 牛頓三定律
一、牛頓第一定律
1、定律。慣性的量度
2、觀念意義，突破“初態困惑”
二、牛頓第二定律
1、定律
2、理解要點
a、矢量性
b、獨立作用性：ΣF → a ，ΣFx → ax …
c、瞬時性。合力可突變，故加速度可突變（與之對比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測量手段”）。
3、適用條件
a、宏觀、低速
b、慣性系
對于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析
三、牛頓第三定律
1、定律
2、理解要點
a、同性質（但不同物體）
b、等時效（同增同減）
c、無條件（與運動狀態、空間選擇無關）
第二講 牛頓定律的應用
一、牛頓第一、第二定律的應用
單獨應用牛頓第一定律的物理問題比較少，一般是需要用其解決物理問題中的某一個環節。
應用要點：合力為零時，物體靠慣性維持原有運動狀態；只有物體有加速度時才需要合力。有質量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。
1、如圖1所示，在馬達的驅動下，皮帶運輸機上方的皮帶以恒定的速度向右運動。現將一工件（大小不計）在皮帶左端A點輕輕放下，則在此后的過程中（ ）
A、一段時間內，工件將在滑動摩擦力作用下，對地做加速運動
B、當工件的速度等于v時，它與皮帶之間的摩擦力變為靜摩擦力
C、當工件相對皮帶靜止時，它位于皮帶上A點右側的某一點
D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對靜止的狀態
解說：B選項需要用到牛頓第一定律，A、C、D選項用到牛頓第二定律。
較難突破的是A選項，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣFx → ∞ ，必然會出現“供不應求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發生相對滑動？因為人是可以形變、重心可以調節的特殊“物體”）
此外，本題的D選項還要用到勻變速運動規律。用勻變速運動規律和牛頓第二定律不難得出
只有當L ＞ 
時（其中μ為工件與皮帶之間的動摩擦因素），才有相對靜止的過程，否則沒有。
答案：A、D
思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= 0.2 ，g取10 m/s2 ，試求工件到達皮帶右端的時間t（過程略，答案為5.5s）
進階練習：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v0 ，其它條件不變，再求t（學生分以下三組進行）——
① v0 = 1m/s (答：0.5 + 37/8 = 5.13s)
② v0 = 4m/s (答：1.0 + 3.5 = 4.5s)
③ v0 = 1m/s (答：1.55s)
2、質量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。試問：
① 如果在P處剪斷細繩，在剪斷瞬時，B的加速度是多少？
② 如果在Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時，B的加速度又是多少？
解說：第①問是常規處理。由于“彈簧不會立即發生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。
第②問需要我們反省這樣一個問題：“彈簧不會立即發生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。但在Q點剪斷彈簧時，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質量），遵從理想模型的條件，彈簧應在一瞬間恢復原長！即彈簧彈力突變為零。
答案：0 ；g 。
二、牛頓第二定律的應用
應用要點：受力較少時，直接應用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時，結合正交分解與“獨立作用性”解題。
在難度方面，“瞬時性”問題相對較大。
1、滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑，試求其加速度。
解說：受力分析 → 根據“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應用
答案：gsinθ。
思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對靜止，斜面應具備一個多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對象仍為滑塊。但在第二環節上應注意區別。答：gtgθ。）
進階練習1：在一向右運動的車廂中，用細繩懸掛的小球呈現如圖3所示的穩定狀態，試求車廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）
進階練習2、如圖4所示，小車在傾角為α的斜面上勻加速運動，車廂頂用細繩懸掛一小球，發現懸繩與豎直方向形成一個穩定的夾角β。試求小車的加速度。
解：繼續貫徹“矢量性”的應用，但數學處理復雜了一些（正弦定理解三角形）。
分析小球受力后，根據“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應的夾角。設張力T與斜面方向的夾角為θ，則
θ=（90°+ α）- β= 90°-（β-α） （1）
對灰色三角形用正弦定理，有
= 
（2）
解（1）（2）兩式得：ΣF = 
最后運用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）
答：
。
2、如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運動。斜面上用一條與斜面平行的細繩系一質量為m的小球，當斜面加速度為a時（a＜ctgθ），小球能夠保持相對斜面靜止。試求此時繩子的張力T 。
解說：當力的個數較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應牛頓第二定律的“獨立作用性”列方程。
正交坐標的選擇，視解題方便程度而定。
解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程
ΣFx = ma ，即Tx － Nx = ma
ΣFy = 0 ， 即Ty + Ny = mg
代入方位角θ，以上兩式成為
T cosθ－N sinθ = ma （1）
T sinθ + Ncosθ = mg （2）
這是一個關于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ
解法二：下面嘗試一下能否獨立地解張力T 。將正交分解的坐標選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時，在分解受力時，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個坐標軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。
根據獨立作用性原理，ΣFx = max
即：T － Gx = max
即：T － mg sinθ = m acosθ
顯然，獨立解T值是成功的。結果與解法一相同。
答案：mgsinθ + ma cosθ
思考：當a＞ctgθ時，張力T的結果會變化嗎？（從支持力的結果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒有意義。答：T = m
。）
學生活動：用正交分解法解本節第2題“進階練習2”
進階練習：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30°，但扶梯的臺階是水平的。當扶梯以a = 4m/s2的加速度向上運動時，站在扶梯上質量為60kg的人相對扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s2，試求扶梯對人的靜摩擦力f 。
解：這是一個展示獨立作用性原理的經典例題，建議學生選擇兩種坐標（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對比解題過程，進而充分領會用牛頓第二定律解題的靈活性。
答：208N 。
3、如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知。現將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時加速度。
解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區別。
（學生活動）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時釋放，會有什么現象？原因是什么？
結論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。
第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時調節”這一難點（從即將開始的運動來反推）。
知識點，牛頓第二定律的瞬時性。
答案：a甲 = gsinθ ；a乙 = gtgθ 。
應用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當懸掛吊籃的細繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？
解：略。
答：2g ；0 。
三、牛頓第二、第三定律的應用
要點：在動力學問題中，如果遇到幾個研究對象時，就會面臨如何處理對象之間的力和對象與外界之間的力問題，這時有必要引進“系統”、“內力”和“外力”等概念，并適時地運用牛頓第三定律。
在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過程簡化，使過程的物理意義更加明晰。
對N個對象，有N個隔離方程和一個（可能的）整體方程，這（N + 1）個方程中必有一個是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。
補充：當多個對象不具有共同的加速度時，一般來講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個局限（可以介紹推導過程）——
Σ
= m1
+ m2
+ m3
+ … + mn
其中Σ
只能是系統外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。
1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個長為L的均質直棒，現給棒一個沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關系怎樣？
解說：截取隔離對象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。
答案：N = 
x 。
思考：如果水平面粗糙，結論又如何？
解：分兩種情況，（1）能拉動；（2）不能拉動。
第（1）情況的計算和原題基本相同，只是多了一個摩擦力的處理，結論的化簡也麻煩一些。
第（2）情況可設棒的總質量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μ
Mg ，其中l＜L ，則x＜(L-l)的右段沒有張力，x＞(L-l)的左端才有張力。
答：若棒仍能被拉動，結論不變。
若棒不能被拉動，且F = μ
Mg時（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質量），當x＜(L-l)，N≡0 ；當x＞(L-l)，N = 
〔x -〈L-l〉〕。
應用：如圖13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個長方體滑塊，它們的質量分別為m1和m2 ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ1和μ2 ，系統釋放后能夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為：
A、μ1 m1gcosθ ； B、μ2 m1gcosθ ；
C、μ1 m2gcosθ ； D、μ1 m2gcosθ ；
解：略。
答：B 。（方向沿斜面向上。）
思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v0一起上沖，以上結論會變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v0一起上沖，球應對盒子的哪一側內壁有壓力？
解：略。
答：（1）不會；（2）沒有；（3）若斜面光滑，對兩內壁均無壓力，若斜面粗糙，對斜面上方的內壁有壓力。
2、如圖15所示，三個物體質量分別為m1 、m2和m3 ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計，繩子的質量也不計，為使三個物體無相對滑動，水平推力F應為多少？
解說：
此題對象雖然有三個，但難度不大。隔離m2 ，豎直方向有一個平衡方程；隔離m1 ，水平方向有一個動力學方程；整體有一個動力學方程。就足以解題了。
答案：F = 
。
思考：若將質量為m3物體右邊挖成凹形，讓m2可以自由擺動（而不與m3相碰），如圖16所示，其它條件不變。是否可以選擇一個恰當的F′，使三者無相對運動？如果沒有，說明理由；如果有，求出這個F′的值。
解：此時，m2的隔離方程將較為復雜。設繩子張力為T ，m2的受力情況如圖，隔離方程為：
= m2a
隔離m1 ，仍有：T = m1a
解以上兩式，可得：a = 
g
最后用整體法解F即可。
答：當m1 ≤ m2時，沒有適應題意的F′；當m1 ＞ m2時，適應題意的F′= 
。
3、一根質量為M的木棒，上端用細繩系在天花板上，棒上有一質量為m的貓，如圖17所示。現將系木棒的繩子剪斷，同時貓相對棒往上爬，但要求貓對地的高度不變，則棒的加速度將是多少？
解說：法一，隔離法。需要設出貓爪抓棒的力f ，然后列貓的平衡方程和棒的動力學方程，解方程組即可。
法二，“新整體法”。
據Σ
= m1
+ m2
+ m3
+ … + mn
，貓和棒的系統外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度a1 = 0 ，所以：
（ M + m ）g = m·0 + M a1
解棒的加速度a1十分容易。
答案：
g 。
四、特殊的連接體
當系統中各個體的加速度不相等時，經典的整體法不可用。如果各個體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯系。
解題思想：抓某個方向上加速度關系。方法：“微元法”先看位移關系，再推加速度關系。、
1、如圖18所示，一質量為M 、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個質量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。
解說：本題涉及兩個物體，它們的加速度關系復雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對兩者列隔離方程時，務必在這個方向上進行突破。
（學生活動）定型判斷斜面的運動情況、滑塊的運動情況。
位移矢量示意圖如圖19所示。根據運動學規律，加速度矢量a1和a2也具有這樣的關系。
（學生活動）這兩個加速度矢量有什么關系？
沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐標，可得：
a1y = a2y ①
且：a1y = a2sinθ ②
隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。
對滑塊，列y方向隔離方程，有：
mgcosθ- N = ma1y ③
對斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：
Nsinθ= Ma2 ④
解①②③④式即可得a2 。
答案：a2 = 
。
（學生活動）思考：如何求a1的值？
解：a1y已可以通過解上面的方程組求出；a1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma1x ，得:a1x = gsinθ 。最后據a1 = 
求a1 。
答：a1 = 
。
2、如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ，可以無摩擦地在棒上滑動，開始時與棒的A端相距b ，相對棒靜止。當棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運動，加速度為a（且a＞gtgθ）時，求滑套C從棒的A端滑出所經歷的時間。
解說：這是一個比較特殊的“連接體問題”，尋求運動學參量的關系似乎比動力學分析更加重要。動力學方面，只需要隔離滑套C就行了。
（學生活動）思考：為什么題意要求a＞gtgθ？（聯系本講第二節第1題之“思考題”）
定性繪出符合題意的運動過程圖，如圖22所示：S表示棒的位移，S1表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角坐標后，S1x表示S1在x方向上的分量。不難看出：
S1x + b = S cosθ ①
設全程時間為t ，則有：
S = 
at2 ②
S1x = 
a1xt2 ③
而隔離滑套，受力圖如圖23所示，顯然：
mgsinθ= ma1x ④
解①②③④式即可。
答案：t = 
另解：如果引進動力學在非慣性系中的修正式 Σ
+ 
* = m 
（注：
*為慣性力），此題極簡單。過程如下——
以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖24所示。
注意，滑套相對棒的加速度a相是沿棒向上的，故動力學方程為：
F*cosθ- mgsinθ= ma相 （1）
其中F* = ma （2）
而且，以棒為參照，滑套的相對位移S相就是b ，即：
b = S相 = 
a相 t2 （3）
解（1）（2）（3）式就可以了。
第二講 配套例題選講
教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓練教材》，知識出版社，2002年8月第一版。
例題選講針對“教材”第三章的部分例題和習題。
第一部分 力＆物體的平衡
第一講 力的處理
一、矢量的運算
1、加法
表達：
+ 
= 
。
名詞：
為“和矢量”。
法則：平行四邊形法則。如圖1所示。
和矢量大小：c = 
，其中α為
和
的夾角。
和矢量方向：
在
、
之間，和
夾角β= arcsin
2、減法
表達：
= 
－
。
名詞：
為“被減數矢量”，
為“減數矢量”，
為“差矢量”。
法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數矢量和減數矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減數時量的時量，即是差矢量。
差矢量大小：a = 
，其中θ為
和
的夾角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一條直線上的矢量運算是平行四邊形和三角形法則的特例。
例題：已知質點做勻速率圓周運動，半徑為R ，周期為T ，求它在
T內和在
T內的平均加速度大小。
解說：如圖3所示，A到B點對應
T的過程，A到C點對應
T的過程。這三點的速度矢量分別設為
、
和
。
根據加速度的定義 
= 
得：
= 
，
= 
由于有兩處涉及矢量減法，設兩個差矢量 
= 
－
，
= 
－
，根據三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（
的“三角形”已被拉伸成一條直線）。
本題只關心各矢量的大小，顯然：
= 
= 
= 
，且：
= 
= 
，
= 2
= 
所以：
= 
= 
= 
，
= 
= 
= 
。
（學生活動）觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運動是不是勻變速運動？
答：否；不是。
3、乘法
矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數的乘法有著質的不同。
⑴ 叉乘
表達：
×
= 
名詞：
稱“矢量的叉積”，它是一個新的矢量。
叉積的大小：c = absinα，其中α為
和
的夾角。意義：
的大小對應由
和
作成的平行四邊形的面積。
叉積的方向：垂直
和
確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。
顯然，
×
≠
×
，但有：
×
= －
×
⑵ 點乘
表達：
·
= c
名詞：c稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是一個標量。
點積的大小：c = abcosα，其中α為
和
的夾角。
二、共點力的合成
1、平行四邊形法則與矢量表達式
2、一般平行四邊形的合力與分力的求法
余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小
正弦定理解方向
三、力的分解
1、按效果分解
2、按需要——正交分解
第二講 物體的平衡
一、共點力平衡
1、特征：質心無加速度。
2、條件：Σ
= 0 ，或 
= 0 ，
= 0
例題：如圖5所示，長為L 、粗細不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標示，求橫桿的重心位置。
解說：直接用三力共點的知識解題，幾何關系比較簡單。
答案：距棒的左端L/4處。
（學生活動）思考：放在斜面上的均質長方體，按實際情況分析受力，斜面的支持力會通過長方體的重心嗎？
解：將各處的支持力歸納成一個N ，則長方體受三個力（G 、f 、N）必共點，由此推知，N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個點，這時，N就過重心了）。
答：不會。
二、轉動平衡
1、特征：物體無轉動加速度。
2、條件：Σ
= 0 ，或ΣM+ =ΣM-
如果物體靜止，肯定會同時滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。
3、非共點力的合成
大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。
作用點：先假定一個等效作用點，然后讓所有的平行力對這個作用點的和力矩為零。
第三講 習題課
1、如圖7所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉動的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一個質量為m的光滑均質球體，試求：β取何值時，夾板對球的彈力最小。
解說：法一，平行四邊形動態處理。
對球體進行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G和N1進行平移，使它們構成一個三角形，如圖8的左圖和中圖所示。
由于G的大小和方向均不變，而N1的方向不可變，當β增大導致N2的方向改變時，N2的變化和N1的方向變化如圖8的右圖所示。
顯然，隨著β增大，N1單調減小，而N2的大小先減小后增大，當N2垂直N1時，N2取極小值，且N2min = Gsinα。
法二，函數法。
看圖8的中間圖，對這個三角形用正弦定理，有：
= 
，即：N2 = 
，β在0到180°之間取值，N2的極值討論是很容易的。
答案：當β= 90°時，甲板的彈力最小。
2、把一個重為G的物體用一個水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F隨時間t的變化規律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個？
解說：靜力學旨在解決靜態問題和準靜態過程的問題，但本題是一個例外。物體在豎直方向的運動先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時的難點。
靜力學的知識，本題在于區分兩種摩擦的不同判據。
水平方向合力為零，得：支持力N持續增大。
物體在運動時，滑動摩擦力f = μN ，必持續增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ，與N沒有關系。
對運動過程加以分析，物體必有加速和減速兩個過程。據物理常識，加速時，f ＜ G ，而在減速時f ＞ G 。
答案：B 。
3、如圖11所示，一個重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環上，另一輕質彈簧的勁度系數為k ，自由長度為L（L＜2R），一端固定在大圓環的頂點A ，另一端與小球相連。環靜止平衡時位于大環上的B點。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。
解說：平行四邊形的三個矢量總是可以平移到一個三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。
分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環的支持力。
（學生活動）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）
容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以：
⑴
由胡克定律：F = k（
- R） ⑵
幾何關系：
= 2Rcosθ ⑶
解以上三式即可。
答案：arccos
。
（學生活動）思考：若將彈簧換成勁度系數k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環的支持力怎么變？
答：變小；不變。
（學生活動）反饋練習：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化？
解：和上題完全相同。
答：T變小，N不變。
4、如圖14所示，一個半徑為R的非均質圓球，其重心不在球心O點，先將它置于水平地面上，平衡時球面上的A點和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡時球面上的B點與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。
解說：練習三力共點的應用。
根據在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。根據在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點，可以畫出重心的具體位置。幾何計算比較簡單。
答案：
R 。
（學生活動）反饋練習：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？
解：三力共點知識應用。
答：
。
4、兩根等長的細線，一端拴在同一懸點O上，另一端各系一個小球，兩球的質量分別為m1和m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和30°，如圖15所示。則m1 : m2??為多少？
解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學問題。
對兩球進行受力分析，并進行矢量平移，如圖16所示。
首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設為α。
而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設為F 。
對左邊的矢量三角形用正弦定理，有：
= 
①
同理，對右邊的矢量三角形，有：
= 
②
解①②兩式即可。
答案：1 ：
。
（學生活動）思考：解本題是否還有其它的方法？
答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點看成轉軸，兩球的重力對O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。
應用：若原題中繩長不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m1與m2的比值又將是多少？
解：此時用共點力平衡更加復雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。
答：2 ：3
。
5、如圖17所示，一個半徑為R的均質金屬球上固定著一根長為L的輕質細桿，細桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現要將木板繼續向左插進一些，至少需要多大的水平推力？
解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。
以球和桿為對象，研究其對轉軸O的轉動平衡，設木板拉出時給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：
f R + N（R + L）= G（R + L） ①
球和板已相對滑動，故：f = μN ②
解①②可得：f = 
再看木板的平衡，F = f 。
同理，木板插進去時，球體和木板之間的摩擦f′= 
= F′。
答案：
。
第四講 摩擦角及其它
一、摩擦角
1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。
2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φm表示。
此時，要么物體已經滑動，必有：φm = arctgμ（μ為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達到最大運動趨勢，必有：φms = arctgμs（μs為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φm = φms 。
3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。
二、隔離法與整體法
1、隔離法：當物體對象有兩個或兩個以上時，有必要各個擊破，逐個講每個個體隔離開來分析處理，稱隔離法。
在處理各隔離方程之間的聯系時，應注意相互作用力的大小和方向關系。
2、整體法：當各個體均處于平衡狀態時，我們可以不顧個體的差異而講多個對象看成一個整體進行分析處理，稱整體法。
應用整體法時應注意“系統”、“內力”和“外力”的涵義。
三、應用
1、物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時，物體勻速前進。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進，求物體與水平面之間的動摩擦因素μ。
解說：這是一個能顯示摩擦角解題優越性的題目。可以通過不同解法的比較讓學生留下深刻印象。
法一，正交分解。（學生分析受力→列方程→得結果。）
法二，用摩擦角解題。
引進全反力R ，對物體兩個平衡狀態進行受力分析，再進行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φm指摩擦角。
再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm = 15°。
最后，μ= tgφm 。
答案：0.268 。
（學生活動）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進的最小F值是多少？
解：見圖18，右圖中虛線的長度即Fmin ，所以，Fmin = Gsinφm 。
答：Gsin15°（其中G為物體的重量）。
2、如圖19所示，質量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運動，而斜面體始終靜止。已知斜面的質量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對斜面體的摩擦力大小。
解說：
本題旨在顯示整體法的解題的優越性。
法一，隔離法。簡要介紹……
法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。
做整體的受力分析時，內力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。
答案：26.0N 。
（學生活動）地面給斜面體的支持力是多少？
解：略。
答：135N 。
應用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使滿足題意的這個F的大小和方向。
解說：這是一道難度較大的靜力學題，可以動用一切可能的工具解題。
法一：隔離法。
由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ
對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。
對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——
Fx = f + mgsinθ
Fy + mgcosθ= N
且 f = μN = Ntgθ
綜合以上三式得到：
Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①
對斜面體，只看水平方向平衡就行了——
P = fcosθ+ Nsinθ
即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ
代入μ值，化簡得：Fy = mgcosθ ②
②代入①可得：Fx = 3mgsinθ
最后由F =
解F的大小，由tgα= 
解F的方向（設α為F和斜面的夾角）。
答案：大小為F = mg
，方向和斜面夾角α= arctg(
)指向斜面內部。
法二：引入摩擦角和整體法觀念。
仍然沿用“法一”中關于F的方向設置（見圖21中的α角）。
先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P ⑴
再隔離滑塊，分析受力時引進全反力R和摩擦角φ，由于簡化后只有三個力（R、mg和F），可以將矢量平移后構成一個三角形，如圖22所示。
在圖22右邊的矢量三角形中，有：
= 
= 
⑵
注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶
解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
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