北京市2009屆高三第二次模擬考試
數學理科
（試卷總分150分 考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）
1．
的值是（ ）
A．
B．
C． 
D． 
2．設
，則
（ ）
A． 
B． 
C．
D．
3．已知集合
，集合
，則
（ ）
A． 
B． 
C．
D． 
4．已知向量
，
，則
與
共線是
與
共線的（ ）
A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C．充要條件D． 既不充分也不必要條件
5．已知正項等差數列
的前6項和為9，
成等比數列，則數列的公差為（ ）
A． 
B．
C．或 D． 
或
6．若雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，則此雙曲線的離心率是( )
A. B.
C. 
D.
7.設
、
為正實數，則下列不等式恒成立的是( )
①
；②
；③
；④
。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．設
是
展開式的中間項，若
在區間
上恒成立，則實數
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C． 
D．
9．函數
的最小值是( )
A.
B.
C. 
D.
10．用平面
截半徑為
的球
，若截面圓的內接正三角形
的邊長亦為，則三棱錐
的體積為（
）
A．
B．
C．
D．
11.設
是函數
的反函數，則
與
的大小關系為（ ）
A． 
B.
C．
D
12．直線
，
將圓面
分成若干塊，現用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）
13．若實數
滿足
，則
的最大值為
。
14已知數列的前
項和
比集合
的子集個數少１，則
。
15.如圖，正四面體
中，
是底面上的高，
為
的中點，則與
所成角的余弦值為
。
16,已知點
為
的準線與
軸的交點,點
為焦點，點
為拋物線上兩個點，若
，則向量
與
的夾角為
。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．17.(本小題滿分10分)
已知
的內角
的對邊分別為
，其中
，
，
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面積。
18. (本小題滿分12分)
高中會考成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為會考不合格，某學校高三學生甲參加語文、數學、英語三科會考，三科會考合格的概率均為
，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為
，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業證，求學生甲不能拿到高中畢業證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三好學生，則學生甲被評為三好學生的概率；
（Ⅳ）設
為學生甲會考不合格科目數，求的分布列及的數學期望
。
19．（本小題滿分12分）
已知函數
（為常數）．
（Ⅰ）當
時，求的極值；
（Ⅱ）若在定義域上是增函數，求實數的取值范圍.
20．(本小題滿分12分)
已知四棱錐
的底面
為直角梯形，
底面，
∥
，
，
，點
、
分別在棱
、上，且
平面
，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值的大小；
（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。
21．(本小題滿分12分)
已知雙曲線：的離心率為
，過右焦點做漸近線
：
的平行線
交雙曲線與點，若
，
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線
與雙曲線
恒有兩個不同的交點
和
，且
其中為原點，求
的范圍。
22．(本小題滿分12分)
為數列的前項和且滿足
，若
，
則
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列
的前項和
；
（Ⅲ）設
，求證：
。
1．解析：
，故選A。
2．解析：∵
，
故選B。
3．解析：由
，得
，此時
，所以，
，故選C。
4．解析：顯然，若
與
共線，則
與
共線；若與共線，則
，即
，得
，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。
5．解析：設公差為
，由題意得，
；
，解得
或
，故選C。
6．解析：∵雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴
，∴雙曲線的離心率是
。故選B.
7.解析：∵
、
為正實數，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因為函數
在
是增函數，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵
，∴
在區間
上恒成立，即
在區間上恒成立，∴
，故選D。
9．解析：∵
，此函數的最小值為
，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形
的邊長為
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故選D。
11．解析：∵
在區間
上是增函數且
，∴其反函數
在區間上
是增函數，∴
，故選A
12．解析：如圖，①當
或
時，圓面
被分成2塊，涂色方法有20種；②當
或
時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當
時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是
，故選A。
13．解析：做出
表示的平面區域如圖，當直線
經過點
時，
取得最大值5。
14.解析：∵
，∴
時，
，又
時，
滿足上式，因此，
，
∴
。
15．解析：設正四面體的棱長為，連
，取的中點
，連
，∵
為
的中點，∴
∥，∴
或其補角為與
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴與所成角的余弦值為
。
16．解析：∵
，∴
，∵點
為
的準線與
軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點
為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中
為點
到準線的距離，四邊形
為菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
與
的夾角為
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為
，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為
，∴學生甲被評為三好學生的概率為
。……………………12分
（理）∵
，
，
，
。……………………9分
∴
的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的數學期望
。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）
時，
，
，
由
得，
或
………3分
+
0
－
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
，
………………………6分
（Ⅱ）
在定義域
上是增函數，
對
恒成立，即
………………………9分
又
（當且僅當
時，
）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
為二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小為
。………………………8分
（Ⅲ）過點
做
∥，交于點，∵平面，∴
為在平面內的射影，∴
為與平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為
。………………………12分
解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，
，∴點
的坐標分別是
，
，
，∴
，
，設
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴。………………………4分
（Ⅱ）設二面角的大小為
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分
21.（Ⅰ） 解析：如圖，設右準線
與軸的交點為
，過點分別向軸及右準線引垂線
，∵
，∴
，又∵
∥，∴
，………………………2分
∴
，又∵
，∴
，又∵，解得
，∴
，∴雙曲線的方程為
。………………………4分
（Ⅱ）聯立方程組 
消
得：
由直線
與雙曲線
交于不同的兩點得：
即 
于是 
，且
………………①………………………6分
設
、
，則
……………………9分
又
，所以
，解得
……………②
由①和②得
即
或
故
的取值范圍為
。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，∴
，∴數列
是等差數列，………………………2分
又∵
，
，∴公差為2，
∴
，………………………4分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴數列
是公比為2的等比數列，
∵
，∴
，………………………6分
（Ⅲ）∵
，
∴
………………………8分
∴
………………………10分
∵
，∴
，又∵
，∴
………………………12分
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