題目列表(包括答案和解析)
如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1是由一個(gè)正三棱錐S-ABCD（底面為正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1下底面邊長(zhǎng)為2，上底面邊長(zhǎng)為1，高為2．
在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，則| 1 | ||
|
| 1 |
| |CA|2 |
| 1 |
| |CB|2 |
| 1 |
| h2 |
| 1 |
| |PA|2 |
| 1 |
| |PB|2 |
| 1 |
| |PC|2 |
| 1 |
| h2 |
| 1 |
| |PA|2 |
| 1 |
| |PB|2 |
| 1 |
| |PC|2 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| |CA|2 |
| 1 |
| |CB|2 |
在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為
；
類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P－ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的一個(gè)正確結(jié)論是________．
如圖，設(shè)S-ABCD是一個(gè)高為3的四棱錐，底面ABCD的邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)S在底面上的射影是正方形ABCD的中心，K是棱SC的中點(diǎn)，過(guò)AK作平面與線段SB，SD分別交于M，N（M，N可以是線段的端點(diǎn)）．1．解析：
，故選A。
2．解析：∵
，
故選B。
3．解析：由
，得
，此時(shí)
，所以，
，故選C。
4．解析：顯然，若
與
共線，則
與
共線；若與共線，則
，即
，得
，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。
5．解析：設(shè)公差為
，由題意得，
；
，解得
或
，故選C。
6．解析：∵雙曲線
的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴
，∴雙曲線的離心率是
。故選B.
7.解析：∵
、
為正實(shí)數(shù)，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)
在
是增函數(shù)，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵
，∴
在區(qū)間
上恒成立，即
在區(qū)間上恒成立，∴
，故選D。
9．解析：∵
，此函數(shù)的最小值為
，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形
的邊長(zhǎng)為
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故選D。
11．解析：∵
在區(qū)間
上是增函數(shù)且
，∴其反函數(shù)
在區(qū)間上
是增函數(shù)，∴
，故選A
12．解析：如圖，①當(dāng)
或
時(shí)，圓面
被分成2塊，涂色方法有20種；②當(dāng)
或
時(shí)，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當(dāng)
時(shí)，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是
，故選A。
13．解析：做出
表示的平面區(qū)域如圖，當(dāng)直線
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
時(shí)，
取得最大值5。
14.解析：∵
，∴
時(shí)，
，又
時(shí)，
滿足上式，因此，
，
∴
。
15．解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，連
，取的中點(diǎn)
，連
，∵
為
的中點(diǎn)，∴
∥，∴
或其補(bǔ)角為與
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴與所成角的余弦值為
。
16．解析：∵
，∴
，∵點(diǎn)
為
的準(zhǔn)線與
軸的交點(diǎn)，由向量的加法法則及拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)
為拋物線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)且做出圖形如右圖，其中
為點(diǎn)
到準(zhǔn)線的距離，四邊形
為菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
與
的夾角為
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會(huì)考不合格的概率均為
，∴學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為
，∴學(xué)生甲被評(píng)為三好學(xué)生的概率為
。……………………12分
（理）∵
，
，
，
。……………………9分
∴
的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的數(shù)學(xué)期望
。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）
時(shí)，
，
，
由
得，
或
………3分
+
0
－
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
，
………………………6分
（Ⅱ）
在定義域
上是增函數(shù)，
對(duì)
恒成立，即
………………………9分
又
（當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，
）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
為二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小為
。………………………8分
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)
做
∥，交于點(diǎn)，∵平面，∴
為在平面內(nèi)的射影，∴
為與平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為
。………………………12分
解法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）∵，
，∴點(diǎn)
的坐標(biāo)分別是
，
，
，∴
，
，設(shè)
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴。………………………4分
（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）設(shè)與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分
21.（Ⅰ） 解析：如圖，設(shè)右準(zhǔn)線
與軸的交點(diǎn)為
，過(guò)點(diǎn)分別向軸及右準(zhǔn)線引垂線
，∵
，∴
，又∵
∥，∴
，………………………2分
∴
，又∵
，∴
，又∵，解得
，∴
，∴雙曲線的方程為
。………………………4分
（Ⅱ）聯(lián)立方程組 
消
得：
由直線
與雙曲線
交于不同的兩點(diǎn)得：
即 
于是 
，且
………………①………………………6分
設(shè)
、
，則
……………………9分
又
，所以
，解得
……………②
由①和②得
即
或
故
的取值范圍為
。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，∴
，∴數(shù)列
是等差數(shù)列，………………………2分
又∵
，
，∴公差為2，
∴
，………………………4分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴數(shù)列
是公比為2的等比數(shù)列，
∵
，∴
，………………………6分
（Ⅲ）∵
，
∴
………………………8分
∴
………………………10分
∵
，∴
，又∵
，∴
………………………12分
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