長郡中學；衡陽八中；永州四中；岳陽縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中
石門一中；澧縣一中；郴州一中；益陽市一中；桃源縣一中；株洲市二中
由
聯合命題
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一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
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2．在含有30個個體的總體中，抽取一個容量為5的樣本，則個體甲被抽到的概率是（ ）
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A.2
B.4
C.8
D.16學科網
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4．函數
具有性質（ ）學科網
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A.圖象關于點（
，0）對稱，最大值為2 學科網
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B.圖象關于點（
，0）對稱，最大值為2 學科網
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C.圖象關于點（，0）對稱，最大值為1學科網
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D.圖象關于直線x=對稱，最大值為1學科網
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5．已知直線l和平面α、β滿足
這三個關系中，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論所構成的命題中，真命題的個數是（ ）學科網
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A.0 B.1
C.2
D.3學科網
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6．已知y=f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時，f(x)=x-2，則不等式f(x)<
的解集是（
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按如此規律下去，則
（ ）學科網
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A.1003
B.1005 C.1006
D.2011學科網
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二、填空題（本大題共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在答題卡上）
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11．在去年抗擊雪災的戰斗中，上級安排9名專家分別到衡陽、株洲、郴州3地指導抗災，每地3人，則不同的安排方法數是
___ (用數字作答).學科網
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12. 在
的展開式中，有理項共有
___項.學科網
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軌跡方程為
___. 學科網
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三、解答題（本大題共6小題,共75分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）學科網
16. (本小題滿分12分)學科網
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（1）求
的最小正周期與單調遞減區間；學科網
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17.（本小題滿分12分）學科網
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食品監管部門要對某品牌食高考資源網版權所有品四項質量指標在進入市場前進行嚴格的檢測，如果四項指標中的 學科網
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第四項不合格或其他三項指標中有兩項不合格，則這種品種的食品不能上市，已知每項檢測是學科網
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（1）若食品監管部門要對其四項指標依次進行嚴格的檢測，求恰好在第三項指標檢測結束時能確定不能上市的概率；學科網
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（2）求該品牌的食品能上市的概率.學科網
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18．（本題滿分12分）學科網
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如圖,棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，學科網
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PA=AD=3,AB=4,Q為棱PD上一點，且
.學科網
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（1）求二面角Q-AC-D的余弦值；學科網
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（2）求點C到平面PBD的距離.學科網
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19.（本大題滿分13分）學科網
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20．(本小題滿分13分) 學科網
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以F1(0，-1)，F2(0，1)為焦點的橢圓C過點P(
，1)．學科網
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（1）求橢圓C的方程；學科網
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（2）過點S(
，0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T ? 若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．學科網
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（2）當
時，函數與
的圖象有兩個公共點，求
的取值范圍.
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一. 選擇題
: （本大題共10小題, 每小題5分, 共50分）
ABDCC DDBCB
二．填空題: （本大題共5小題, 每小題5分, 共25分）
11．1680 12.5
13.-1 14.
15.
三. 解答題: （本大題共6小題, 共75分）
16.（本小題滿分12分）
解：（1）f(x)
．．．．．．3分
……4分
令
的單調區間為
,k∈Z ．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由
得
．．．．．．7分
又
為
的內角 
．．．．．9分
．．．．．．．11分
．．．．．．12分
17.（本小題滿分12分）
解：（1）
．．．．．．．5分
．．．．．．．12分
18．（本題滿分12分）
解法一：
（1）在棱
取三等分點
,使
,則
,由
⊥平面
,
得
⊥平面。過點
作
于
，連結
，
則
，
為所求二面角
的平面角.
在
中，
，
，
所以，二面角的余弦值為
．．．．．．6分
（2）因為
，所以點
到平面
的距離等于
到平面的距離，⊥平面，
過點作
于
，連結
，則
，
⊥平面
，過點作
于
，
則
，
為所求距離，
所以，求點到平面的距離為
．．．．．．12分
解法二：
證明：（1）建立如圖所示的直角坐標系，
則A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、
B(4，0，0)、C(4，3，0), 由已知得
，
得
.
設平面QAC的法向量為
，則
，
即
∴
，令
,得到平面QAC的一個法向量為
∵PA⊥平面ABCD，∴
為平面ABCD的法向量.
設二面角P―CD―B的大小為q，依題意可得
．．．．．6分
（2）由（1）得
設平面PBD的法向量為
，則
，
即
，∴令
，得到平面QAC的一個為法向量為
∵
，∴C到面PBD的距離為
．．．．．12分
19. （本小題滿分13分）
（1）解：當
時,
,………………………………①
則當
, 時,
………………②
①－②，得
，即
∴
，∴
，當
時，
，則
.
∴
是以
為首項,
為公比的等比數列,∴
,
∴
………………………6分
（2）證明:
.
∴
, 則
,…………③
…………………………④
③－④，得
∴
.
當時,
, ∴
為遞增數列,
∴
.．．．．．．．13分
20．(本小題滿分13分)
解法一：
(1)設橢圓方程為
(a>b>0)，由已知c=1，
又2a= 
.
所以a=
,b2=a2-c2=1，
橢圓C的方程是x2+ 
=1. ．．．．．．．4分
(2)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,
若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+
)2+y2=
．
由
解得
即兩圓相切于點(1，０)．
因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)． 事實上，點T(1，０)就是所求的點．．．．．．．．6分
證明如下：
當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．
若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k(x+)．
由
即(k2+2)x2+
k2x+
k2-2=0.記點A(x1,y1),B(x2,y2),則
由
=(x1-1, y1), 
=(x2-1, y2), 
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=(k2+1) 
+(k2-1) 
+ 
+1=0，
所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(1,0).故在坐標平面上存在一個定點T(1,0)滿足條件．．．．．．．13分
解法二：
(1)由已知c=1，設橢圓C的方程是
(a>1)．
因為點P在橢圓C上，所以
,解得a2=2，所以橢圓C的方程是：
.
．．．．．．．4分
(2)假設存在定點T(u，v)滿足條件．同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.
記點A(x1,y1)，B(x2,y2),則
又因為=(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+)．
所以
=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-
v+u2+v2
=
當且僅當?=０恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點T.
?=０恒成立等價于
解得u=1,v=0.
此時，以AB為直徑的圓恒過定點T(1，０)． 當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓
亦過點T(1，０)．所以在坐標平面上存在一個定點T(1，O)滿足條件
．．．．．．．．13分
解法三：
(1)同解法一或解法二．．．．．．．．4分
(2)設坐標平面上存在一個定點T滿足條件，根據直線過x軸上的定點S及橢圓的對稱性，所求的點T如果存在，只能在x軸上，設T(t，O)．
同解法一得
=(x1-t,y1),=(x2-t,y2)
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)
=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t2=
當且僅當?=O恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點T.
?=O恒成立等價于
解得t=1.所以當t=1時,以AB為直徑的圓恒過點T.
當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓亦過點T(1，O)．
所以在坐標平面上存在一個定點T(1，O)滿足條件．．．．．．．．13分
21. (本小題滿分13分)
解：（1）由題意
…………………………1分
當
時，
取得極值， 所以 
即 
…………………3分
此時當
時，
，當
時，
，
是函數的最小值。 ………………………5分
（2）設
，則 
，
……8分
設
，
，令
解得
或
列表如下：
__
0
+
函數在和上是增函數，在上是減函數。
當時，有極大值
；當時,有極小值
……10分
函數與
的圖象有兩個公共點，函數與
的圖象有兩個公共點
或 
……13分
則
等于（ ）
B.
C.
D.
B.
C.
D.
中，
，數列
是等比數列，且
，則
（ ）
} B.{ x｜
<x<0}
的準線與雙曲線
的左準線重合，則此雙曲線的漸近線方程是（ ）
B.
C.
D.
表示的平面區域內運動，則
的取值范圍是（
） 
B.
C.
D.
與圓C：
相交于A、B兩點，且
的面積是
，則
的值是（
）
B.
C.
D.與
的值有關的數
10．如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標分別對應數列
的前12項，如下表所示：
的圖象關于直線
對稱,那么
___. 
15．如圖，在平面斜坐標系中
，斜坐標定義為
（其中
分別為斜坐標系的x軸,y軸
.若
滿足
,則點M在斜坐標系中的
.
、
分別是角
的對邊，若
的面積為
，求
，且其他三項抽檢出現不合格的概率均是
.
項和為
,滿足
,
；
為數列
的前
.
，
，當
時，
是函數