嘉興一中2009屆高三二模
數(shù)學(xué)（理科）試題卷
本試卷分第I卷和第Ⅱ卷兩部分，考試時間為120分鐘，請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。
參考公式：
如果事件A，B互斥，那么
球的體積學(xué).files/image002.gif)
學(xué).files/image004.gif)
其中學(xué).files/image006.gif)
表示球的半徑
如果事件學(xué).files/image008.gif)
，學(xué).files/image010.gif)
相互獨立，那么
棱柱的體積學(xué).files/image012.gif)
學(xué).files/image014.gif)
其中學(xué).files/image016.gif)
表示棱柱的底面積，學(xué).files/image018.gif)
表示高
如果事件在一次實驗中發(fā)生的概率是 棱錐的體積學(xué).files/image021.gif)
學(xué).files/image023.gif)
，那么學(xué).files/image025.gif)
次獨立重復(fù)實驗中事件恰
其中表示棱錐的底面積，表示高
好發(fā)生學(xué).files/image030.gif)
次的概率
棱臺的體積學(xué).files/image032.gif)
學(xué).files/image034.gif)
其中學(xué).files/image036.gif)
，學(xué).files/image038.gif)
分別表示棱臺的上、下底面
球的表面積學(xué).files/image040.gif)
積，表示棱臺的高
其中表示球的半徑
第I卷
一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．全集學(xué).files/image044.gif)
，學(xué).files/image046.gif)
，則學(xué).files/image048.gif)
A．學(xué).files/image050.gif)
B．學(xué).files/image052.gif)
C．學(xué).files/image054.gif)
或學(xué).files/image056.gif)
D．或學(xué).files/image059.gif)
2．“學(xué).files/image061.gif)
”是“學(xué).files/image063.gif)
”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
學(xué).files/image065.jpg)
3．一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果為
學(xué).files/image067.gif)
，則判斷框中應(yīng)填入的條件是
A．學(xué).files/image069.gif)
B．學(xué).files/image071.gif)
C．學(xué).files/image073.gif)
D．學(xué).files/image075.gif)
4．設(shè)學(xué).files/image077.gif)
是三個重合的平面，學(xué).files/image079.gif)
是不重合的直線，
下列判斷正確的是
A．若學(xué).files/image081.gif)
則學(xué).files/image083.gif)
B．若學(xué).files/image085.gif)
則學(xué).files/image087.gif)
C．若學(xué).files/image089.gif)
則學(xué).files/image091.gif)
D．若學(xué).files/image093.gif)
則
5．若學(xué).files/image096.gif)
，則學(xué).files/image098.gif)
A．18
B．
6．已知鈍角三角形學(xué).files/image100.gif)
的最大邊長為2，其余兩邊長為學(xué).files/image102.gif)
，則以學(xué).files/image104.gif)
為坐標(biāo)的點所表示平面區(qū)域的面積是
A．學(xué).files/image106.gif)
B．學(xué).files/image108.gif)
C．學(xué).files/image110.gif)
D．學(xué).files/image112.gif)
7．等比數(shù)列學(xué).files/image114.gif)
中，學(xué).files/image116.gif)
記學(xué).files/image118.gif)
則當(dāng)學(xué).files/image120.gif)
最大時，學(xué).files/image025.gif)
的值為
A．7
B．
8．已知學(xué).files/image123.gif)
，則學(xué).files/image125.gif)
的解集是
A．學(xué).files/image127.gif)
B．學(xué).files/image129.gif)
C．學(xué).files/image131.gif)
D．學(xué).files/image133.gif)
9．雙曲線學(xué).files/image135.gif)
的左、右焦點分別為學(xué).files/image137.gif)
、學(xué).files/image139.gif)
，離心率為學(xué).files/image141.gif)
，過的直線與雙曲線的右支交于學(xué).files/image144.gif)
兩點，若學(xué).files/image146.gif)
是以學(xué).files/image008.gif)
為直角頂點的等腰直角三角形，則 學(xué).files/image149.gif)
A．學(xué).files/image151.gif)
B．學(xué).files/image153.gif)
C．學(xué).files/image155.gif)
D．學(xué).files/image157.gif)
10．若函數(shù)學(xué).files/image159.gif)
則下列命題正確的是
A．學(xué).files/image161.gif)
B．學(xué).files/image163.gif)
C．學(xué).files/image165.gif)
D．學(xué).files/image167.gif)
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共7小題，每題4分，共28分）
學(xué).files/image169.jpg)
11．若復(fù)數(shù)學(xué).files/image171.gif)
為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)學(xué).files/image173.gif)
的值為___________。
12．設(shè)等差數(shù)列的前項和為學(xué).files/image177.gif)
，且學(xué).files/image179.gif)
，則學(xué).files/image181.gif)
___________。
13．如圖，測量河對岸的旗桿高學(xué).files/image183.gif)
時，選與旗桿底學(xué).files/image010.gif)
在同一水平面
內(nèi)的兩個測點學(xué).files/image186.gif)
與學(xué).files/image188.gif)
，測得學(xué).files/image190.gif)
，學(xué).files/image192.gif)
，學(xué).files/image194.gif)
，
并在點測得旗桿頂的仰角為60°，則旗桿高為______
14．已知學(xué).files/image199.gif)
均為單位向量，且它們的夾角為60°，
學(xué).files/image201.jpg)
當(dāng)學(xué).files/image203.gif)
取最小值時，學(xué).files/image205.gif)
___________。
15．若某個多面體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的集體為___________。
16．由0，1，2，3，4組成的四位數(shù)中，含有數(shù)字0。且恰有2個數(shù)位
上的數(shù)字重復(fù)的四位數(shù)的個數(shù)是____________。（用數(shù)字作答）
17．學(xué).files/image207.gif)
對學(xué).files/image209.gif)
，學(xué).files/image211.gif)
，
使學(xué).files/image213.gif)
，則學(xué).files/image215.gif)
的取值范圍是________________。
三、解答題（本大題共5小題，共72分）
18．已知學(xué).files/image217.gif)
且學(xué).files/image219.gif)
（I）求學(xué).files/image221.gif)
的值；
（Ⅱ）當(dāng)學(xué).files/image223.gif)
時，求函數(shù)學(xué).files/image225.gif)
的值域。
19．如圖，在學(xué).files/image227.gif)
中，學(xué).files/image229.gif)
為學(xué).files/image231.gif)
邊上的高，學(xué).files/image233.gif)
，沿將學(xué).files/image236.gif)
翻折，使得學(xué).files/image238.gif)
得幾何體學(xué).files/image240.gif)
（I）求證：學(xué).files/image242.gif)
；
（Ⅱ）求二面角學(xué).files/image244.gif)
的大小的余弦值。
學(xué).files/image246.jpg)
20．有甲、乙兩個盒子，甲盒子中裝有3個小球，乙盒子中裝有5個小球，每次隨機(jī)選取一個盒子并從中取出一個球。
( I )求當(dāng)甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球的概率；
(Ⅱ)當(dāng)?shù)谝淮稳⊥暌粋�盒子中的球時,另一個盒子恰剩下學(xué).files/image248.gif)
個球,求的分布列及期望學(xué).files/image251.gif)
21．如圖，已知橢圓學(xué).files/image253.gif)
長軸長為4，高心率為學(xué).files/image255.gif)
過點學(xué).files/image257.gif)
的直線學(xué).files/image259.gif)
交橢圓于兩點、交學(xué).files/image262.gif)
軸于學(xué).files/image264.gif)
點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線學(xué).files/image269.gif)
交軸于學(xué).files/image272.gif)
點。
學(xué).files/image274.jpg)
（I）求橢圓方程；
（Ⅱ）探究：學(xué).files/image276.gif)
是否為常數(shù)？
22．已知函數(shù)學(xué).files/image278.gif)
（I）求證函數(shù)在學(xué).files/image281.gif)
上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）函數(shù)學(xué).files/image283.gif)
有三個零點，求學(xué).files/image285.gif)
的值；
（Ⅲ）對學(xué).files/image287.gif)
恒成立，求的取值范圍。
一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B
6．B 7．C 8．D 9．D 10．A
二、填空題（本大題共7小題，每題4分，共28分）
11．2 12．45 13．學(xué).files/image290.gif)
14．學(xué).files/image292.gif)
15．1 16．144 17．學(xué).files/image294.gif)
三、解答題（本大題共5小題，第18―20題各14分，第21、22題各15分，共72分）
18．（1）因為學(xué).files/image296.gif)
（4分）
所以學(xué).files/image298.gif)
（Ⅱ）由（I）得，學(xué).files/image300.gif)
學(xué).files/image302.gif)
（10分）
因為學(xué).files/image304.gif)
所以學(xué).files/image306.gif)
，所以學(xué).files/image308.gif)
（12分）
因此，函數(shù)學(xué).files/image225.gif)
的值域為學(xué).files/image311.gif)
。（14分）
19．（I）因為學(xué).files/image313.gif)
，所以學(xué).files/image315.gif)
平面學(xué).files/image317.gif)
。 （3分）
又因為學(xué).files/image319.gif)
平面學(xué).files/image321.gif)
所以學(xué).files/image323.gif)
①（5分）
在學(xué).files/image325.gif)
中，學(xué).files/image327.gif)
，由余弦定理，
得學(xué).files/image329.gif)
因為學(xué).files/image331.gif)
，所以學(xué).files/image333.gif)
，即學(xué).files/image335.gif)
。② （7分）
由①，②及學(xué).files/image337.gif)
，可得學(xué).files/image339.gif)
平面學(xué).files/image341.gif)
（8分）
（Ⅱ）方法一；
在學(xué).files/image343.gif)
中，過學(xué).files/image188.gif)
作學(xué).files/image346.gif)
于學(xué).files/image348.gif)
，則學(xué).files/image350.gif)
，所以學(xué).files/image352.gif)
平面學(xué).files/image100.gif)
在學(xué).files/image227.gif)
中，過作學(xué).files/image357.gif)
于學(xué).files/image359.gif)
，連學(xué).files/image361.gif)
，則學(xué).files/image363.gif)
平面學(xué).files/image365.gif)
，
學(xué).files/image367.jpg)
所以學(xué).files/image369.gif)
為二面角學(xué).files/image244.gif)
的平面角 （11分）
在學(xué).files/image372.gif)
中，求得學(xué).files/image374.gif)
，
在學(xué).files/image376.gif)
中，求得學(xué).files/image378.gif)
，
所以學(xué).files/image380.gif)
所以學(xué).files/image382.gif)
。
因此，所求二面角的大小的余弦值為學(xué).files/image385.gif)
。
方法二：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系學(xué).files/image387.gif)
（9分）
則學(xué).files/image389.gif)
學(xué).files/image391.gif)
學(xué).files/image393.jpg)
設(shè)平面學(xué).files/image395.gif)
的法向量為學(xué).files/image397.gif)
，
則學(xué).files/image399.gif)
所以學(xué).files/image401.gif)
，取學(xué).files/image403.gif)
，
則學(xué).files/image405.gif)
（11分）
又設(shè)平面的法向量為學(xué).files/image408.gif)
，
則學(xué).files/image410.gif)
學(xué).files/image412.gif)
，取學(xué).files/image414.gif)
，則學(xué).files/image416.gif)
（13分）
所以，學(xué).files/image418.gif)
因此，所求二面角的大小余弦值為。
20．（I）學(xué).files/image422.gif)
（6分）
（Ⅱ）學(xué).files/image424.gif)
學(xué).files/image426.gif)
學(xué).files/image428.gif)
學(xué).files/image248.gif)
1
2
3
4
5
學(xué).files/image264.gif)
學(xué).files/image432.gif)
學(xué).files/image435.gif)
學(xué).files/image437.gif)
學(xué).files/image439.gif)
學(xué).files/image441.gif)
（14分）
21．（I）由題意得學(xué).files/image443.gif)
（3分）
解得學(xué).files/image445.gif)
（5分）
所以橢圓方程為學(xué).files/image447.gif)
（6分）
（Ⅱ）直線學(xué).files/image259.gif)
方程為學(xué).files/image450.gif)
，則的坐標(biāo)為學(xué).files/image453.gif)
（7分）
設(shè)學(xué).files/image455.gif)
則學(xué).files/image457.gif)
，
直線學(xué).files/image269.gif)
方程為學(xué).files/image460.gif)
令學(xué).files/image462.gif)
，得學(xué).files/image272.gif)
的橫坐標(biāo)為
學(xué).files/image465.gif)
① （10分）
又學(xué).files/image467.gif)
得學(xué).files/image469.gif)
得學(xué).files/image471.gif)
， （12分）
代入①得學(xué).files/image473.gif)
， （14分）
得學(xué).files/image475.gif)
， 學(xué).files/image477.gif)
為常數(shù)4 （15分）
22．（I）學(xué).files/image479.gif)
（2分）
由于學(xué).files/image481.gif)
，故嘗學(xué).files/image483.gif)
時，學(xué).files/image485.gif)
，所以學(xué).files/image487.gif)
， （4分）
故函數(shù)在學(xué).files/image281.gif)
上單調(diào)遞增。 （5分）
（Ⅱ）令學(xué).files/image491.gif)
，得到學(xué).files/image493.gif)
（6分）
學(xué).files/image495.gif)
的變化情況表如下： （8分）
學(xué).files/image262.gif)
學(xué).files/image498.gif)
0
學(xué).files/image501.gif)
一
0
+
學(xué).files/image503.gif)
極小值
學(xué).files/image504.gif)
因為函數(shù)學(xué).files/image506.gif)
有三個零點，所以學(xué).files/image508.gif)
有三個根，
有因為當(dāng)學(xué).files/image510.gif)
時，學(xué).files/image512.gif)
，
所以學(xué).files/image514.gif)
，故學(xué).files/image516.gif)
（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間學(xué).files/image520.gif)
上單調(diào)遞增。
所以學(xué).files/image522.gif)
（11分）
學(xué).files/image524.gif)
學(xué).files/image526.gif)
記學(xué).files/image528.gif)
則學(xué).files/image530.gif)
（僅在學(xué).files/image532.gif)
時取到等號），
所以學(xué).files/image534.gif)
遞增，故學(xué).files/image536.gif)
，
所以學(xué).files/image538.gif)
（13分）
于是學(xué).files/image540.gif)
故對學(xué).files/image542.gif)
學(xué).files/image544.gif)
，所以學(xué).files/image546.gif)
（15分）
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