題目列表(包括答案和解析)
對
，不等式
所表示的平面區域為
，把內的整點（橫坐標與縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排成一列點：
（1）求
，
（2）若
（
為非零常數），問是否存在整數，使得對任意，
都有
．
對
，記
，函數
（1）求
，
；
（2）作出
的圖像；
（3）若關于
的方程
有且僅有兩個不等的解，求實數
的取值范圍.
對
，定義運算“
”、“
”為：
給出下列各式
①
，②
，
③
， ④
.
其中等式恒成立的是 .（將所有恒成立的等式的序號都填上）
對
，定義
，則函數
是（ ）
A．奇函數但非偶函數； B．偶函數但非奇函數；
C．既是奇函數又是偶函數； D．非奇非偶函數
對
，定義運算“
”、“
”為：
給出下列各式
①
，②
，
③
， ④
.
其中等式恒成立的是 .（將所有恒成立的等式的序號都填上）
一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B
6．B 7．C 8．D 9．D 10．A
二、填空題（本大題共7小題，每題4分，共28分）
11．2 12．45 13．
14．
15．1 16．144 17．
三、解答題（本大題共5小題，第18―20題各14分，第21、22題各15分，共72分）
18．（1）因為
（4分）
所以
（Ⅱ）由（I）得，
（10分）
因為
所以
，所以
（12分）
因此，函數
的值域為
。（14分）
19．（I）因為
，所以
平面
。 （3分）
又因為
平面
所以
①（5分）
在
中，
，由余弦定理，
得
因為
，所以
，即
。② （7分）
由①，②及
，可得
平面
（8分）
（Ⅱ）方法一；
在
中，過
作
于
，則
，所以
平面
在
中，過作
于
，連
，則
平面
，
所以
為二面角
的平面角 （11分）
在
中，求得
，
在
中，求得
，
所以
所以
。
因此，所求二面角的大小的余弦值為
。
方法二：
如圖建立空間直角坐標系
（9分）
則
設平面
的法向量為
，
則
所以
，取
，
則
（11分）
又設平面的法向量為
，
則
，取
，則
（13分）
所以，
因此，所求二面角的大小余弦值為。
20．（I）
（6分）
（Ⅱ）
1
2
3
4
5
（14分）
21．（I）由題意得
（3分）
解得
（5分）
所以橢圓方程為
（6分）
（Ⅱ）直線
方程為
，則的坐標為
（7分）
設
則
，
直線
方程為
令
，得
的橫坐標為
① （10分）
又
得
得
， （12分）
代入①得
， （14分）
得
， 
為常數4 （15分）
22．（I）
（2分）
由于
，故嘗
時，
，所以
， （4分）
故函數在
上單調遞增。 （5分）
（Ⅱ）令
，得到
（6分）
的變化情況表如下： （8分）
0
一
0
+
極小值
因為函數
有三個零點，所以
有三個根，
有因為當
時，
，
所以
，故
（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在區間上單調遞減，在區間
上單調遞增。
所以
（11分）
記
則
（僅在
時取到等號），
所以
遞增，故
，
所以
（13分）
于是
故對
，所以
（15分）
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