張家港市后塍高級中學2008～2009第二學期高三數學
4月調研測試卷
一、填空題：（5×10=50分）
1．已知集合
若
，則實數
的值為 .
2．若復數
為虛數單位）為純虛數，則實數
的值為 .
3．一個幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為2的正方形，其俯視圖是直徑為2的圓，則該幾何體的表面積為 .
4.如圖，給出一個算法的偽代碼， 則
.
5.已知直線
的充要條件是=
.
6．高三⑴班共有56人，學號依次為1，2，3，┅，56，現用系統抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為 .
7．在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機抽出3道題回答，答對其中2道題即為及格，若一位考生只會答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為 .
8．設方程
.
10．
已知函數
的值為
.
10．平面區域
，若向區域
內隨機投一點
，則點落入區域
的概率為
.
11.已知拋物線
到其焦點的距離為5，雙曲線
的左頂點為，若雙曲線一條漸近線與直線
垂直，則實數=
.
12.已知平面向量
的夾角為
，
.
13.函數
上的最大值為
.
14.如圖，將平面直角坐標系的格點（橫、縱坐標均
為整數的點）按如下規則表上數字標簽：原點處
標0，點（1，0）處標1，點（1，-1）處標2，點
（0，-1）處標3，點（-1，-1）處標4，點（-1，0）
標5，點（-1，1）處標6，點（0，1）處標7，以此
類推，則標簽
的格點的坐標為
.
一、
二、解答題：（90分）
15．（本小題滿分14分）
在斜三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且
.
(1)求角A；若
，求角C的取值范圍。
16．（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形，
⊥平面，
為的中點，
為
的中點，求證：
（1）平面
⊥平面
；
（2）
//平面
.
17．（本小題滿分14分）
已知數列
、
中，對任何正整數
都有：
．
（1）若數列是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列是等比數列；
（2）若數列是等比數列，數列是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
18．（本小題滿分16分）
已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料
元/千克，每次購買配料需支付運費236元.每次購買來的配料還需支付保管費用，其標準如下: 7天以內（含7天），無論重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天數，根據實際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.
（Ⅰ）當9天購買一次配料時，求該廠用于配料的保管費用P是多少元？
（Ⅱ）設該廠
天購買一次配料，求該廠在這天中用于配料的總費用
（元）關于的函數關系式，并求該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費用最少?
19．（本小題滿分15分）
已知圓
的方程為
且與圓相切。
（1）求直線
的方程；
（2）設圓與軸交與
兩點，
是圓上異于的任意一點，過點且與軸垂直的直線為
，直線
交直線于點
，直線
交直線于點
。
求證：以
為直徑的圓
總經過定點，并求出定點坐標。
20．（本小題滿分16分）
已知函數
（I）求曲線
處的切線方程；
（Ⅱ）求證函數
在區間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，
≈1.6，e0.3≈1.3）
（III）當
試求實數的取值范圍。
后塍高級中學2008～2009第二學期高三數學4月調研測試
數學附加題
21、【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分。
A、（選修4-1.幾何證明選講）
如圖，四邊形內接于
,
,過點的切線交
的延長線于點。
求證：
 |
B、（選修4-2.矩陣與變換）
求曲線:
在矩陣
對應的變換下得到的曲線
的方程。
C、（選修4-4.坐標系與參數方程）
已知曲線的極坐標方程為
，以極點為原點，極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線
的參數方程為
（
為參數），求直線被曲線截得的線段長度。
D、（選修4-5.不等式選講）
已知
為正數，且滿足
，求證：
【必做題】每題10分，共20分
22、已知四棱錐
的底面是直角梯形，
平面,
若平面
與平面
所成
二面角的余弦值為
，求
的值。
23、已知
，當
時，求證：
⑴
；
⑵
后塍高級中學高三數學答題紙
一、 填空（5*14=70分）
17、（滿分15分）
18、（滿分15分）
19、（滿分16分）
20、（滿分16分）
高三數學4月調研測試數學附加題答題紙
 |
22、
23、
后塍高級中學2008～2009第二學期高三數學4月調研測試卷
1．1 2．
3．
4．－8 5．
6．20
7．
8．1 9．0 10．
11．
12．
13．
14．（1005，1004）
15．⑴ ∵ 
，………………… 2分
又∵ 
，∴
而
為斜三角形，
∵
，∴
. ……………………………………………… 4分
∵
，∴
. …………………………………… 6分
⑵∵
，∴
…12分
即
，∵
，∴
.…………………………………14分
16．⑴∵
平面
，
平面，所以
，…2分
∵是菱形，∴
，又
，
∴
平面
，……………………………………………………4分
又∵平面
，∴平面
平面
． …………………………6分
⑵取
中點
，連接
,則
，
∵是菱形，∴
，
∵
為
的中點，∴
，………………10分
∴
．
∴四邊形
是平行四邊形，∴
，………………12分
又∵
平面
，
平面．
∴
平面． ……………………………………14分
17．解：（1）依題意數列
的通項公式是
，
故等式即為
，
同時有
，
兩式相減可得
…………………3分
可得數列
的通項公式是
，
知數列是首項為1，公比為2的等比數列。 ………6分
18．解：（Ⅰ）當9天購買一次時，該廠用于配料的保管費用
P=70+
=88(元)
……………4分
（Ⅱ）（1）當x≤7時
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
（2）當 x>7時
y=360x+236+70+6[(
)+(
)+……+2+1]
=
………7分
∴
………8分
∴設該廠x天購買一次配料平均每天支付的費用為f(x)元
…………11分
當x≤7時
當且僅當x=7時
f(x)有最小值
（元）
當x＞7時
=
≥393
當且僅當x=12時取等號
∵393<404
∴當x=12時 f(x)有最小值393元 ………16分
19．（1）∵直線
過點
，且與圓
：
相切，
設直線
的方程為
，即
， ……………2分
則圓心
到直線的距離為
，解得
，
∴直線的方程為
，即．…………4分
（2）對于圓方程
,令
，得
,即
．又直線
過點
且與
軸垂直，∴直線方程為
，設
，則直線
方程為
解方程組
,得
同理可得,
……… 10分
∴以
為直徑的圓
的方程為
，
又
，∴整理得
，………… 12分
若圓經過定點，只需令
，從而有
，解得
，
∴圓總經過定點坐標為
．
……………………… 14分
22．解：（Ⅰ）
，………………1分
又
，
處的切線方程為
…………3分
（Ⅱ）
，
…………………………………………4分
令
，
則
上單調遞增，
上存在唯一零點，
上存在唯一的極值點………6分
取區間
作為起始區間，用二分法逐次計算如下
區間中點坐標
中點對應導數值
取區間
1
0.6
0.3
由上表可知區間的長度為0.3，所以該區間的中點
，到區間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的相應x的值。
取得極值時，相應
………………………9分
（Ⅲ）由
，
即
，
，………………………………………12分
令
令
上單調遞增，
，
因此
上單調遞增，
則
，
的取值范圍是
………………………………………16分
數學附加題參考答案及評分標準
因為EA切
于A， 所以∠EAB＝∠ACB．
因為
，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．
于是∠EAB＝∠ACD． ……………………………………………4分
又四邊形ABCD內接于，所以∠ABE＝∠D．
所以
∽
．
于是
，即
．
所以
． ……………………………10分
21B．解：設
為曲線
上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點
，
則有
，…………………………………4分
即
所以
……………………………………………………8分
又因為點P在曲線上，所以
，
故有
即所得曲線方程
.………………………………………………… 10分
的極坐標方程化為直角坐標方程為
，
即
，它表示以
為圓心，2為半徑的圓， ………………………………4分
直線方程
的普通方程為
，
………………………………6分
圓C的圓心到直線l的距離
，……………………………………………………………………8分
故直線被曲線截得的線段長度為
． ……………………………………10分
21D．解：由柯西不等式，得 
．
………………………………10分
22．以點為坐標原點, 以
分別為
軸,建立如圖空間直角坐標系, 不妨設 
則
所以
設平面
的法向量為
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