2008－2009學年高三第二次調研考試試題
文科數學（必修＋選修I）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分． 第I卷1至2頁，第II卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．
第I卷
注意事項：
1．答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
．
如果事件A、B相互獨立，那么
．
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
．
球的表面積公式
，其中R表示球的半徑．
球的體積公式
，其中R表示球的半徑．
一、選擇題：
1．設全集
，集合
，則下面結論正確的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 若
的
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
3. 函數
的最大值為
（A）1 （B） 
（C）
（D）2
4．若函數
的圖象經過點（2，4），則
的值是
（A）
（B）4 （C）2 （D）
5．設函數
則
的值為
（A）－2 （B）2 （C）－4 （D）4
6．將棱長為1的正方體木塊切削成一個體積最大的球，則該球的體積為
（A）
（B）
（C）
（D）
7．若離心率為
的橢圓
以雙曲線
的焦點為焦點，則此橢圓的方程為
（A）
（B）
（C）
（D）
8．
展開式中的常數項是
(A) －84 (B) 84 (C) －36 (D) 36
9. 若直線
將圓
的周長平分為長度相等的兩部分，則
的最小值是
（A）2 （B）4 （C）
（D）
10．在某次數學測驗中，學號為
的四位同學的成績
，且滿足
，則這四位同學的測驗成績可能有
（A）15種情況 （B）10種情況 （C）9種情況 （D）5種情況
11．若P是兩條異面直線l，m外一點，則過點P
（A）有且僅有一條直線與l，m都平行 （B）有且僅有一條直線與l，m都垂直
（C）有且僅有一條直線與l，m都相交 （D）有且僅有一條直線與l，m都不相交
12．函數f(x)在定義域R內可導，若
，且當
時，
，則
的大小關系是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應題號的橫線上．
13．某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現用分層抽樣的方法從所有教師中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數為80人，則n的值為：
14．若a、b、c依次為△ABC三個內角A、B、C的對邊，且acosB+bcosA=csinC，則角C的大小為：
15．若
、
滿足約束條件
的最大值為：
16．若
，且
，則實數x的取值范圍是：
三、解答題：本大題共6小題，共70分．把答案填在答題卷相應題號的答題區中．
17．（本小題滿分10分）
如圖，已知
，
，且
，
．
（I）試用
表示
；
（Ⅱ）設向量
和
的夾角為
，求
的值．
18．（本小題滿分10分）
甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分配到
四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙兩人同時被分配到
崗位服務的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人被分配到不同崗位服務的概率．
19．（本小題滿分12分）
如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小．
20．（本小題滿分12分）
數列
滿足
，且
．
（I）求
，并證明數列
是等比數列；
（II）求
．
21.（本小題滿分13分）
已知函數
，
在任意一點
處的切線的斜率為
.
（I）求函數
的單調區間；
（II）若
在
上的最小值為
，求在R上的極大值.
22．（本小題滿分13分）
如圖，傾斜角為
的直線經過拋物線
的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．
（I）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（II）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明
為定值，并求此定值．
2008－2009學年高三第二次調研考試試題
文科數學答案
一、選擇題：每小題5分，共60分．
BABDB DCABD BD
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應題號的橫線上．
13．某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現用分層抽樣的方法從所有老師中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數為80人，則n的值為：16
14．若△ABC三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，則角C的大小為：
15．若
、
滿足約束條件
的最大值為：2
16．若
，且
，則實數x的取值范圍是：
三、解答題：本大題共6小題，共70分．把答案填在答題卷相應題號的答題區中．
17．（本小題滿分10分）
如圖，已知
，
，且
，
．
（I）試用
表示
；
（Ⅱ）設向量
和
的夾角為
，求
的值．
解：（I）設
，則
，
； …………3分
因
，
，
，
所以 
解得：
即 
． …………5分
（Ⅱ）由（I）知
，又
，
所以 
)
(
)=
，
…………8分
故 
． …………10分
18．（本小題滿分10分）
甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分配到
四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙兩人同時被分配到
崗位服務的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人被分配到不同崗位服務的概率．
解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時被分到崗位服務為事件
，
那么
，
即甲、乙兩人同時被分到崗位服務的概率是
． …………5分
（Ⅱ）設甲、乙兩人同時被分到同一崗位服務為事件
，
那么
，
故甲、乙兩人被分到不同崗位服務的概率是
． …………10分
19．（本小題滿分12分）
如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小．
解:(方法一)
（Ⅰ）連結OC．∵BO=DO，AB=AD，
BC=CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD． …………3分
在△AOC中，由已知得AC=2，AO=1，CO=
，
∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∴AO
平面BCD． …………6分
（Ⅱ）分別取AC、BC的中點M、E，連結OM、ME、OE，則
ME∥AB，OE∥DC．
∴
（或其補角）等于異面直線AB與CD所成的角． …………9分
在△OME中，
又
是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴
∴
∴異面直線AB與CD所成角的大小為
…………12分
(方法二)
（Ⅰ）同方法一． …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AO⊥OC，AO⊥BD，CO⊥BD．
以O為原點，建立空間直角坐標系如圖， …………7分
則A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0) ． …………10分
所以 
，
∴異面直線AB與CD所成角的大小為
…………12分
20．（本小題滿分12分）
數列
滿足
，且
．
（I）求
，并證明數列
是等比數列；
（II）求
．
解：（I）
，
； …………2分
又，
， …………4分
且 
所以數列
是以-2為首項，3為公比的等比數列． …………6分
（II）由（I）得
， 
． …………8分
…………10分
…………12分
21.（本小題滿分13分）
已知函數
，在任意一點
處的切線的斜率為
.
（I）求函數
的單調區間；
（II）若
在
上的最小值為
，求在R上的極大值.
21. 解：（I）因
,所以
； …………2分
故 
, 
，
，
，
, 
. …………4分
由
知在
和
上是增函數，
由
知在（-1，2）上為減函數. …………8分
（II）由（I）知在（-3，-1）上是增函數，在（-1，2）上為減函數，
所以 在
上的最小值是
或
，極大值為
. …………10分
而
，
,
，
∴在上的最小值是
,∴
,
. …………12分
，
即所求函數在R上的極大值為
…………13分
22．（本小題滿分13分）
如圖，傾斜角為
的直線經過拋物線
的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．
（I）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；
（II）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明
為定值，并求此定值．
解：（I）設拋物線的標準方程為
，則
，從而
．
因此拋物線焦點F的坐標為（2，0），準線方程為
． ……………4分
（II）作AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C、D，
則由拋物線的定義知：|FA|=|AC|，|FB|=|BD|．
記A、B的橫坐標分別為xA、xB，則
|FA|＝|AC|＝
解得
； ……………7分
|FB|＝|BD|＝
解得
． ……………9分
記直線m與AB的交點為E，則
，
所以
． ……………12分
故
． ……………13分
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