2009福州市高中畢業班單科質量檢查
數學(文科)試卷
注意事項：
1.本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷的密封線內填寫學校、班級、學號、姓名；
2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
參考公式：
樣本數據
，
，
，
的標準差：
，其中
為樣本平均數；
柱體體積公式：
，其中
為底面面積、
為高；
錐體體積公式：
，其中為底面面積，為高；
球的表面積、體積公式：
，
，其中
為球的半徑.
第Ⅰ卷 （選擇題 共60分）
一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的）
1．已知復數
（
為虛數單位）則復數
在復平面對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C第三象限． D．第四象限
2．集合
，
，則
是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．已知
是兩條不同直線，
是三個不同平面，下列命題中正確的是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．如果執行右面的程序框圖，那么輸出的
（ ）．
A．10 B22． C．46 D．
5．函數
的零點一定位于區間（ ）．
A． B．
C．
D．
6．下列有關命題的說法正確的是 ( )．
A．命題“若
，則
”的否命題為：“若，則
”．
B．“
”是“
”的必要不充分條件．
C．命題“
使得
”的否定是：“
均有”．
D．命題“若
，則
”的逆否命題為真命題．
7．將函數
的圖象按向量
平移，則平移后的函數圖象（ ）．
Ａ．關于直線
對稱 Ｂ．關于直線
對稱
Ｃ．關于點
對稱 Ｄ． 關于點
對稱
8．已知函數
，則
是（ ）．
A．最小正周期為
的奇函數
B．最小正周期為
的奇函數
C．最小正周期為的偶函數
D．最小正周期為的偶函數
9．某簡單幾何體的一條對角線長為
，在該幾何體的正視圖、側視圖與俯視圖中，這條對角線的投影都是長為
的線段，則
（ ）．
A． B．
C．
D．
10．已知數列
的通項
則
（ ）．
A．2246 B．
11．若函數
分別是上的奇函數、偶函數，且滿足
，則有（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．若拋物線
的焦點是
,準線是
,點
是拋物線上一點,則經過點、
且與相切的圓共有（ ）．
A.
個
B.個
C.個
D.
個
第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題后的橫線上．）
13．過點
且與直線
垂直的直線方程是 ．
14．已知
，若
，則
．
15．已知
，
，若向區域
上隨機投1個點，這個點落入區域
的概率
= ．
16．觀察以下三個等式：⑴
；
⑵
；⑵
，
歸納其特點可以獲得一個猜想是：
．
三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程）
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且
，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若
最大邊的邊長為
，且
，求最小邊長，
18．（本小題滿分12分）
已知實數
，函數
．
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若有極大值－7求實數
的值．
19．（本小題滿分12分）
已知某人工養殖觀賞魚池塘中養殖著大量的紅鯽魚與中國金魚．為了估計池塘中這兩種魚的數量，養殖人員從水庫中捕出了紅鯽魚與中國金魚各1000只，給每只魚作上不影響其存活的記號，然后放回池塘，經過一定時間，，再每次從池塘中隨機地捕出1000只魚，,分類記錄下其中有記號的魚的數目，隨即將它們放回池塘中．這樣的記錄作了10次.并將記錄獲取的數據做成以下的莖葉圖，
（Ⅰ）根據莖葉圖計算有記號的紅鯽魚與中國金魚數目的平均數，并估計池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數量;
（Ⅱ）隨機地從池塘逐只有放回地捕出5只魚，求其中至少有一只中國金魚的概率．
20．（本小題滿分12分）
如圖所示，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
．
（Ⅰ）求三棱錐
的體積；
（Ⅱ）若
是棱
的中點，棱
的中點為
，證明
平面
21．（本小題滿分12分）
設、
是橢圓
上的兩點，點
是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于
、兩點．
（Ⅰ）求直線的方程；
（Ⅱ）求以線段
的中點
為圓心且與直線相切的圓的方程．
22．（本小題滿分14分）
如圖，已知曲線：
在點
處的切線與
軸交于點
，過點作軸的垂線交曲線于點
，曲線在點處的切線與軸交于點
，過點作軸的垂線交曲線于點
，……，依次得到一系列點、、……、
，設點的坐標為
（
）．
（Ⅰ）求數列
的通項公式；
（Ⅱ）求三角形
的面積
（Ⅲ）設直線
的斜率為
，求數列
的前n項和
，并證明
．
2009福州市高中畢業班單科質量檢查
一.選擇題 1-5 6-10 11-12 BCDCA DADBC AC
二．填空題 13. 
; 14. 
;
15. 
;
16. 
三、解答題
17．【解】（Ⅰ）由
整理得
，
即
，------2分
∴
， -------5分
∵
，∴
。
-------7分
【解】（Ⅱ）∵,∴最長邊為
，
--------8分
∵
，∴
，
--------10分
∴為最小邊，由余弦定理得
，解得
，
∴
，即最小邊長為1
--------12分
18．【解】（Ⅰ）∵
，∴
．---2分
令
，得
，
∵
，∴
，即
，∴
，------4分
當
時，
，的單調遞增區間為
；------5分
當
時，
．------6分
的單調遞減區間為
和
．------7分
（Ⅱ）∵
時，；------8分
時，；
時，，------9分
∴
處取得極大值－7． ------10分
即
，解得
．------12分
19．【解】（Ⅰ）由莖葉圖可求出10次記錄下的有記號的紅鯽魚與中國金魚數目的平均數均為20，故可認為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數目相同，設池塘中兩種魚的總數是
，則有
，
------------3分
即 
，
所以，可估計水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數量均為25000． ------------6分
（Ⅱ）從上述對總體的估計數據獲知，從池塘隨機捕出1只魚，它是中國金魚的概率為
．隨機地從池塘逐只有放回地捕出5只魚，5只魚都是紅鯽魚的概率是
，所以其中至少有一只中國金魚的概率
．------12分
20．【解】在
中，
，
，∴
．
∵
，∴四邊形
為正方形．
----6分
（Ⅱ）當點
為棱
的中點時，
平面
．
------8分
證明如下：
如圖，取
的中點，連
、
、
，
∵
、、分別為
、、的中點，
∴
．
∵
平面，
平面，
∴
平面． ------10分
同理可證
平面．
∵
，
∴平面
平面．
∵
平面，∴平面． ------12分
21．【解】（Ⅰ）法1：依題意顯然
的斜率存在，可設直線的方程為
，
整理得 
． ① ---------------------2分
設
是方程①的兩個不同的根，
∴
， ②
----------------4分
且
，由
是線段的中點，得
，∴
．
解得
，這個值滿足②式，
于是，直線的方程為
，即
--------------6分
法2：設
，
，則有
--------2分
依題意，
，∴
．
---------------------4分
∵是的中點，
∴
，
，從而
．
直線的方程為，即． ----------------6分
（Ⅱ）∵
垂直平分，∴直線的方程為
，即
，
代入橢圓方程，整理得
． ③
---------------8分
又設
，的中點為
，則
是方程③的兩根，
∴
，
．-----10分
到直線的距離
，故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：
．-----------12分
22．【解】（Ⅰ）由
求導得
，
∴曲線
：在點
處的切線方程為
，即
．
此切線與軸的交點
的坐標為
，
∴點
的坐標為
．即
．
-------------------2分
∵點
的坐標為
（
），在曲線上，所以
，
∴曲線：在點處的切線方程為
---4分
令
，得點
的橫坐標為
．
∴數列
是以2為首項，2為公比的等比數列．
∴
（）．
------------------6分
（Ⅱ）∵
；
，
∴
．---------10分
（Ⅲ）因為
，所以
，
所以數列
的前n項和
的前n項和為
①，
---------12分
②，
①―②得
，
所以
---------14分
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