題目列表(包括答案和解析)
．
設數列
為等差數列，
且前6項的平方和為70，立方和為0。
（1）求的通項公式；
（2）在平面直角坐標系內，直線
的斜率為
，且與曲線
相切，與
軸交于
，記
，求
；
（3）對于（2）問中數列
求證：
。
已知數列{xn}的各項為不等于1的正數，其前n項和為Sn，點Pn的坐標為（xn,Sn），若所有這樣的點Pn (n=1,2，…)都在斜率為k的同一直線(常數k≠0,1)上.
（Ⅰ）求證：數列{xn}是等比數列；
（Ⅱ）設
滿足
ys=
,yt=
（s,t∈N，且s≠t）共中a為常數，且1<a<
,試判斷，是否存在自然
數M，使當n>M時，xn>1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由
| S1 |
| a1 |
| S2 |
| a2 |
| S15 |
| a15 |
一.選擇題 1-5 6-10 11-12 BCDCA DADBC AC
二．填空題 13. 
; 14. 
;
15. 
;
16. 
三、解答題
17．【解】（Ⅰ）由
整理得
，
即
，------2分
∴
， -------5分
∵
，∴
。
-------7分
【解】（Ⅱ）∵,∴最長邊為
，
--------8分
∵
，∴
，
--------10分
∴
為最小邊，由余弦定理得
，解得
，
∴
，即最小邊長為1
--------12分
18．【解】（Ⅰ）∵
，∴
．---2分
令
，得
，
∵
，∴
，即
，∴
，------4分
當
時，
，
的單調遞增區間為
；------5分
當
時，
．------6分
的單調遞減區間為
和
．------7分
（Ⅱ）∵
時，；------8分
時，；
時，，------9分
∴
處取得極大值－7． ------10分
即
，解得
．------12分
19．【解】（Ⅰ）由莖葉圖可求出10次記錄下的有記號的紅鯽魚與中國金魚數目的平均數均為20，故可認為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數目相同，設池塘中兩種魚的總數是
，則有
，
------------3分
即 
，
所以，可估計水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數量均為25000． ------------6分
（Ⅱ）從上述對總體的估計數據獲知，從池塘隨機捕出1只魚，它是中國金魚的概率為
．隨機地從池塘逐只有放回地捕出5只魚，5只魚都是紅鯽魚的概率是
，所以其中至少有一只中國金魚的概率
．------12分
20．【解】在
中，
，
，∴
．
∵
，∴四邊形
為正方形．
----6分
（Ⅱ）當點
為棱
的中點時，
平面
．
------8分
證明如下：
如圖，取
的中點
，連
、
、
，
∵
、、分別為
、、的中點，
∴
．
∵
平面，
平面，
∴
平面． ------10分
同理可證
平面．
∵
，
∴平面
平面．
∵
平面，∴平面． ------12分
21．【解】（Ⅰ）法1：依題意顯然
的斜率存在，可設直線的方程為
，
整理得 
． ① ---------------------2分
設
是方程①的兩個不同的根，
∴
， ②
----------------4分
且
，由
是線段的中點，得
，∴
．
解得
，這個值滿足②式，
于是，直線的方程為
，即
--------------6分
法2：設
，
，則有
--------2分
依題意，
，∴
．
---------------------4分
∵是的中點，
∴
，
，從而
．
直線的方程為，即． ----------------6分
（Ⅱ）∵
垂直平分，∴直線的方程為
，即
，
代入橢圓方程，整理得
． ③
---------------8分
又設
，的中點為
，則
是方程③的兩根，
∴
，
．-----10分
到直線的距離
，故所求的以線段的中點
為圓心且與直線相切的圓的方程為：
．-----------12分
22．【解】（Ⅰ）由
求導得
，
∴曲線
：在點
處的切線方程為
，即
．
此切線與軸的交點
的坐標為
，
∴點
的坐標為
．即
．
-------------------2分
∵點
的坐標為
（
），在曲線上，所以
，
∴曲線：在點處的切線方程為
---4分
令
，得點
的橫坐標為
．
∴數列
是以2為首項，2為公比的等比數列．
∴
（）．
------------------6分
（Ⅱ）∵
；
，
∴
．---------10分
（Ⅲ）因為
，所以
，
所以數列
的前n項和
的前n項和為
①，
---------12分
②，
①―②得
，
所以
---------14分
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