江蘇省鹽城市2008-2009高三第一次調研考試
數學
(總分160分,考試時間120分鐘)
參考公式：線性回歸方程的系數公式為
.
一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.
1.已知角
的終邊過點
(－5,12),則
=____▲____.
2.設
(
為虛數單位),則
=____▲____.
3.如圖,一個幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為2的正方形,其俯視圖是直徑為2的圓,則該幾何體的表面積為____▲____.
4.設不等式組
所表示的區域為
,現在區域中任意丟進一個粒子,則該粒子落在直線
上方的概率為____▲____.
5. 某單位為了了解用電量y度與氣溫
之間的關系，隨機統計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：
氣溫(
18
13
10
-1
用電量(度)
24
34
38
64
由表中數據得線性回歸方程
中
，預測當氣溫為
時，用電量的度數約為____▲____.
6.設方程
的解為
,則關于
的不等式
的最大整數解為____▲____.
7.對一個作直線運動的質點的運動過程觀測了8次,得到如下表所示的數據.
觀測次數
1
2
3
4
5
6
7
8
觀測數據
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述統計數據的分析中,一部分計算見如圖所示的算法流程圖(其中
是這8個數據的平均數),則輸出的S的值是____▲____.
8.設為曲線
上一點,曲線
在點處的切線的斜率的范圍是
,則點縱坐標的取值范圍是____▲____.
9.已知
是等比數列,
,則
=____▲____.
10.在平面直角坐標平面內,不難得到“對于雙曲線
（
）上任意一點,若點在軸、
軸上的射影分別為
、
，則
必為定值
”.類比于此，對于雙曲線
（
,
）上任意一點,類似的命題為:____▲____.
11.現有下列命題:①命題“
”的否定是“
”；② 若
,
,則
=；③函數
是偶函數的充要條件是
；④若非零向量
滿足
,則
的夾角為
60º.其中正確命題的序號有____▲____.(寫出所有你認為真命題的序號)
12.設
分別是橢圓
的左頂點與右焦點,若在其右準線上存在點,使得線段
的垂直平分線恰好經過點
,則橢圓的離心率的取值范圍是____▲____.
13.如圖,在三棱錐
中, 、
、
兩兩垂直,且
.設是底面
內一點,定義
,其中
、
、
分別是三棱錐
、
三棱錐
、三棱錐
的體積.若
,且
恒成立,則正實數
的最小值為____▲____.
14.若關于的不等式
至少有一個負數解，則實數
的取值范圍是____▲____.
二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區域內.
15. (本小題滿分14分)
已知在
中,
,
分別是角
所對的邊.
(Ⅰ)求
；
(Ⅱ)若
,
,求的面積.
16. (本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐
中,側面
底面
,側棱
,底面是直角梯形,其中
,
,
,
是
上一點.
(Ⅰ)若
,試指出點的位置；
(Ⅱ)求證:
.
17. (本小題滿分15分)
如圖,某小區準備在一直角圍墻內的空地上植造一塊“綠地
”,其中
長為定值,
長可根據需要進行調節(
足夠長).現規劃在的內接正方形
內種花,其余地方種草,且把種草的面積
與種花的面積
的比值
稱為“草花比”.
(Ⅰ)設
,將表示成
的函數關系式；
(Ⅱ)當
為多長時,有最小值?最小值是多少?
18. (本小題滿分15分)
已知
過點
,且與:
關于直線
對稱.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)設
為上的一個動點,求
的最小值；
(Ⅲ)過點作兩條相異直線分別與相交于
,且直線和直線的傾斜角互補,為坐標原點,試判斷直線
和是否平行?請說明理由.
19. (本小題滿分16分)
已知函數
定義域為
(
),設
.
(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數
在上為單調函數；
(Ⅱ)求證:
；
(Ⅲ)求證:對于任意的
,總存在
,滿足
,并確定這樣的
的個數.
20. (本小題滿分16分)
在正項數列中,令
.
（Ⅰ）若是首項為25,公差為2的等差數列,求
；
（Ⅱ）若
（為正常數）對正整數恒成立,求證為等差數列；
（Ⅲ）給定正整數,正實數,對于滿足
的所有等差數列,
求
的最大值.
鹽城市2008/2009高三第一次調研考試數學附加題
(總分40分,考試時間30分鐘)
21.[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.
A.（選修4―1：幾何證明選講）
如圖，
⊙的內接三角形，
⊙的切線，
交
于點
，交⊙于點
，若
，
.
B.（選修4―2：矩陣與變換）
二階矩陣M對應的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2).
(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣
；
(Ⅱ)設直線
在變換M作用下得到了直線m：2x－y=4，求的方程．
C.（選修4―4：坐標系與參數方程）
在極坐標系中,設圓
上的點到直線
的距離為
,求的最大值.
D.（選修4―5：不等式選講）
設
為正數且
，求證:
.
[必做題] 第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.
22．（本小題滿分10分）
如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
（Ⅰ）求點A到平面PBD的距離；
（Ⅱ）求二面角A―PB―D的余弦值.
23. (本小題滿分10分)
袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為
.現在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的,用
表示取球終止時所需要的取球次數．
(Ⅰ)求袋中原有白球的個數；
(Ⅱ)求隨機變量的概率分布及數學期望
；
(Ⅲ)求甲取到白球的概率．
鹽城市2008/2009高三第一次調研
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.
1. 
2. 
3.
4. 
5.68
6. 4
7. 7
8. 
9.
10. 若點P在兩漸近線上的射影分別為
、
，則
必為定值
11.②③ 12.
13.1 14.
二、解答題：本大題共6小題，計90分.
15. 解: (Ⅰ)因為
,∴
,則
…………………………(4分)
∴
……………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)由
,得
,∴
……………………………(9分)
則
……………………………(11分)
由正弦定理,得
,∴
的面積為
………(14分)
16.
(Ⅰ)解:因為
,
,且
,
所以
…………………………………………………………………………(4分)
又
,所以四邊形
為平行四邊形,則
……………………(6分)
而
,故點
的位置滿足
……………………………………(7分)
(Ⅱ)證: 因為側面
底面
,
,且
,
所以
,則
………………………………………………(10分)
又
,且
,所以
…(13分)
而
,所以
………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)因為
,所以
的面積為
(
)…………(2分)
設正方形
的邊長為
,則由
,得
,
解得
,則
……………………………………………………(6分)
所以
,則
…(9分)
(Ⅱ)因為
,所以
…(13分)
當且僅當
時取等號,此時
.所以當
長為
時,
有最小值1…………(15分)
18. 解:(Ⅰ)設圓心
,則
,解得
……………………(3分)
則圓的方程為
,將點
的坐標代入得
,故圓的方程為
…5分)
(Ⅱ)設
,則,且
………………(7分)
=
=
,
所以
的最小值為
(可由線性規劃或三角代換求得)……………………………(10分)
(Ⅲ)由題意知, 直線
和直線
的斜率存在,且互為相反數,故可設
,
,由
,
得
……………………………………………(11分)
因為點的橫坐標
一定是該方程的解,故可得
…………………(13分)
同理,
,
所以
=
所以,直線
和
一定平行…………………………………………………(15分)
19. (Ⅰ)解:因為
…………………………………(2分)
由
；由
,
所以
在
上遞增,在
上遞減
…………………………(4分)
欲在
上為單調函數,則
……………………………………(5分)
(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,
所以在處取得極小值
(7分)
又
,所以在
上的最小值為
……………(9分)
從而當
時,
,即
……………………………………(10分)
(Ⅲ)證:因為
,所以
即為
,
令
,從而問題轉化為證明方程=0
在
上有解,并討論解的個數………………………………………………(12分)
因為
,
,
所以 ①當
時,
,
所以
在上有解,且只有一解 ……(13分)
②當
時,
,但由于
,
所以在上有解,且有兩解 ……………………………………………(14分)
③當
時,
,所以在上有且只有一解；
當
時,
,
所以在
上也有且只有一解……………………………………………(15分)
綜上所述, 對于任意的
,總存在
,滿足,
且當
時,有唯一的
適合題意；
當時,有兩個適合題意……………………………………………………(16分)
(說明:第(Ⅱ)題也可以令
,
,然后分情況證明
在其值域內,并討論直線
與函數
的圖象的交點個數即可得到相應的的個數)
20.（Ⅰ）解：由題意得,
,所以
=
……………(4分)
（Ⅱ）證:令
,
,則
=1……………………………………(5分)
所以
=
（1）,
=
（2）,
（2）―（1）,得
―
=
,
化簡得
（3）……………………………………………………(7分)
（4）,（4）―（3）得
……(9分)
在（3）中令,得
,從而
為等差數列
…………………………………(10分)
（Ⅲ）記
,公差為
,則
=
…………(12分)
則
,
………………………………(14分)
則
,當且僅當
,即
時等號成立……(16分)
數學附加題部分
21.A．（幾何證明選講選做題）
解：因為PB=PD+BD=1+8=9,
=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結AD,在
中,得
……(5分)
又
,所以
…………………………………………………………………(10分)
B．（矩陣與變換選做題）
解: (Ⅰ)設
,則有
=
,
=
,
所以
,解得
…………………………………………(4分)
所以M=
,從而
=
………………………………………………(7分)
(Ⅱ)因為
且m：2
，
所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ……………………………(10分)
C．（坐標系與參數方程選做題）
解：將極坐標方程
轉化為普通方程：
………………………………(2分)
可化為
………………………………………(5分)
在上任取一點A
,則點A到直線的距離為
,它的最大值為4 ………………(10分)
D．（不等式選講選做題）
證:左=
…………………………(5分)
……………………………………………………(10分)
22．解:以OA、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則
，
…(2分)
（Ⅰ）設平面PDB的法向量為
,
由
,
所以
=
………………………………(5分)
（Ⅱ）設平面ABP的法向量
，
，
,
，
,而所求的二面角與
互補,
所以二面角A―PB―D的余弦值為
………………………………………………(10分)
23．解：(Ⅰ)設袋中原有n個白球,由題意知：
，所以
=12，
解得n=4(舍去
),即袋中原有4個白球………………………………………(3分)
(Ⅱ)由題意,
的可能取值為1，2，3，4……………………………………………(4分)
,
所以，取球次數的分布列為：
1
2
3
4
P
(6分)
……………………………………………………………(8分)
(Ⅲ)因為甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,記“甲取到白球”的事件為A，
則
或
“=3”）,所以
……………(10分)
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