西工大附中2009屆高考模擬性訓練（四）
數 學 試 卷（理 科）
第一卷：選擇題
一．選擇題 （本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。）
1．若復數
是純虛數，則實數a的值為（ ）
A．1 B．
2．設集合
，
，那么“m
A”是“mB”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．設｛an｝是公比為正數的等比數列，若
，
，則數列｛an｝前7項的和為（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
4．函數
，若f(a)=2，則
的值為（ ）
A．3 B．0 C． D．
5．某一批花生種子，如果每1粒發牙的概率為
，那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
6．如圖，在長方體
中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與
平面BB1D1D所成角的正弦值為（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
7.若f(x)=
上是減函數，則b的取值范圍是
A.[-1，+∞） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1] D.（-∞，-1）
8.已知m∈N*,a,b∈R，若
,則a?b=
A．-m B．m C．-1 D．1
9.過點A（11，2）作圓
的弦，其中弦長為整數的共有
A.16條 B.17條 C.32條 D.34條
10.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c2④
＜
.
其中正確式子的序號是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
11．定義在
上的函數
滿足
（
），
，則
等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為
（
），傳輸信息為
，其中
，
運算規則為：
，
，
，
，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是（ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二．填空題(4×4′=16分)：
13．若二項式
的展開式中含
的是第三項，則n的值是
14．已知實數x,y滿足
，則
的最小值為
15．已知直線x-y-1=0與拋物線y=ax2相切，則a= .
16.在長度為 a 的線段內任取兩點將其分成三段，則它們可以構成一個三角形的概率為
三．解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．已知函數
.
（I）當a=1時，求函數f (x)的單調遞增區間；
（II）當a<0且x[0, π]時，函數f(x)的值域是[3, 4]，求a+b的值．
18．甲、乙兩條輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜到達的時間是等可能的，如果甲船停泊的時間是一小時，乙船停泊的時間是兩小時，求它們中任何一艘船都不需要等侯碼頭空出的概率？
19．（本小題滿分12分）
如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.
20. 數列{an}滿足a1=1且8an+1
an -16an+1+2an+5=0 (n³1)。記
(n³1)。
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ） 求數列{bn}的通項公式及數列{anbn}的前n項和Sn。
21．己知雙曲線C:
過點A(
)作直線
與雙曲線C交于P,Q兩點，若PQ的長等于雙曲線C的實軸長的3倍，求直線
的斜率.
22．（本小題滿分14分）
已知函數
．
（Ⅰ）求f(x)的單調區間；
（Ⅱ）記f(x)在區間
（
）上的最小值為
，令
．
（1）如果對一切n，不等式
恒成立，求實數c的取值范圍；
（2）求證： 
．
西工大附中2009屆高考數學模擬試題（四）（理）
一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運算．每小題5分，滿分60分．
1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D7.C 8.A 9.C 10.B
11．C 12．C
二、填空題：13、4 14．
15．
16.
三、解答題：
17. 解：f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=
(2分)
（１）當a=1時，f(x)= 
,
當
時，f(x)是增函數，所以f(x)的單調遞增區間為
（6分）
（２）由
得
，∴
∴當sin(x+
)=1時，f(x)取最小值3，即
，
當sin(x+)=
時，f(x)取最大值4，即b=4.
（10分）
將b=4 代入上式得
，故a+b=
（12分）
18．解：設甲、乙兩條船到達的時刻分別為x,y.則
若甲先到，則乙必須晚1小時以上到達，即
若乙先到達，則甲必須晚2小時以上到達，即
作圖，(略).利用面積比可算出概率為
.
19．解 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是
等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，
平面ABCD，所以PA⊥BE.而
AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF.過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，
AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.
則AG⊥PF.連結HG，由三垂線定理的逆定理得，
PF⊥HG.
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.
在等腰Rt△PAF中， 
在Rt△PAB中， 
所以，在Rt△AHG中， 
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是
解法二 如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2），
（Ⅰ）因為
，平面PAB的一個法向量是
，所以
共線.從而BE⊥平面PAB.
又因為平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
設
是平面PBE的一個法向量，則由
得
所以
設
是平面PAD的一個法向量，則由
得
所以
故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是
20. 解法：
（I）
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由
得
故
21. 解:設
:
代入
得
設P(
),Q
整理，
此時，
22．本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分．
解法一：
（Ⅰ）因為
，所以函數定義域為（
，+
），且
．
由
得
，
的單調遞增區間為（，0）；
由
得x>0，的單調遞增區間為（0，+）．
（Ⅱ）因為在[0，n]上是減函數，所以
，
則
．
（?）
，
又
，
因此
，即實數c的取值范圍是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．
因為
，
所以
，
則
．
．
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因為f(x)在
上是減函數，所以，
則．
（?）因為
對
恒成立．所以
對恒成立．
則
對恒成立．
設
，，則c＜g(n)對恒成立．
考慮
．
因為
，
所以
在
內是減函數；則當時，g(n)隨n的增大而減小，
又因為
＝1．
所以對一切
．因此，即實數
的取值范圍是．
（?）由（?）知．
下面用數學歸納法證明不等式
．
①當n=1時，左邊＝
，右邊＝
，左邊<右邊．不等式成立．
②假設當n=k時，不等式成立．即
．
當n=k+1時，
，
即
時，不等式成立
綜合①，②得，不等式
成立．
所以
即
．
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