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給出下列命題：
①過(guò)一點(diǎn)與已知曲線相切的直線有且只有一條；②函數(shù)的對(duì)稱中心是；③對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b則④取一根長(zhǎng)為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不少于1m的概率是；⑤如果△A₁B₁C₁的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A₂B₂C₂的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則△A₁B₁C₁為銳角三角形，△A₂B₂C₂為鈍角三角形.其中真命題的序號(hào)是            （將所有真命題的序號(hào)都填上）.      

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一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分60分．

1．B     2．A     3．C     4．B     5．B     6．D7.C 8.A 9.C 10.B

11．C   12．C

二、填空題：13、4    14．  15． 16.

三、解答題：

17. 解：f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=         (2分)

（１）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)= ,

當(dāng)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為                          （6分）

（２）由得，∴

∴當(dāng)sin(x+)=1時(shí)，f(x)取最小值3，即，     

當(dāng)sin(x+)=時(shí)，f(x)取最大值4，即b=4.               （10分）

將b=4 代入上式得，故a+b=                 （12分）

18．解：設(shè)甲、乙兩條船到達(dá)的時(shí)刻分別為x,y.則

若甲先到，則乙必須晚1小時(shí)以上到達(dá)，即

若乙先到達(dá)，則甲必須晚2小時(shí)以上到達(dá)，即

作圖，(略).利用面積比可算出概率為.

19．解  解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是

等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF＝60°，所以，

AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.

則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二  如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），

（Ⅰ）因?yàn)?sub>，平面PAB的一個(gè)法向量是，所以共線.從而B(niǎo)E⊥平面PAB.

又因?yàn)?sub>平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.

   (Ⅱ)易知  

   設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以

   設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取

   于是，

   故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

20. 解法：

（I）

（Ⅰ）由

整理得

（Ⅱ）由

所以

故

由得

故

21. 解:設(shè):代入得  設(shè)P(),Q

整理， 此時(shí)，

22．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分14分．

解法一：

（Ⅰ）因?yàn)?i>，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?sub>，+），且．

由得，的單調(diào)遞增區(qū)間為（，0）；

由得x>0，的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）．

（Ⅱ）因?yàn)?i>在[0，n]上是減函數(shù)，所以，

則．

（?）

，

又，

因此，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

因?yàn)?sub>

，

所以，

則

．

．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）因?yàn)閒(x)在上是減函數(shù)，所以，

　　　則．

（?）因?yàn)?sub>對(duì)恒成立．所以對(duì)恒成立．

　　則對(duì)恒成立．

　　設(shè)，，則c＜g(n)對(duì)恒成立．

　　考慮．

　　因?yàn)?sub>，

　　所以在內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)時(shí)，g(n)隨n的增大而減小，

又因?yàn)?sub>＝1．

所以對(duì)一切．因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（?）由（?）知．

     下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式．

     ①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝，右邊＝，左邊<右邊．不等式成立．

     ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立．即．

當(dāng)n=k+1時(shí)，

，

即時(shí)，不等式成立

綜合①，②得，不等式成立．

所以

即．