題目列表(包括答案和解析)
函數f(x)是定義在[0，1]上的增函數，滿足
且f(1)=1，在每個區間
上，y=f(x)的圖像都是斜率為同一常數k的直線的一部分。
（1）求f(0)及
的值，并歸納出
的表達式；
（2）設直線
，x軸及y=f(x)的圖像圍成的矩形的面積為ai(i=1，2…)，記
，求S(k)的表達式，并寫出其定義域和最小值。
且f(1)=1，在每個區間
上，y=f(x)的圖像都是斜率為同一常數k的直線的一部分。
（1）求f(0)及
的值，并歸納出
的表達式；
（2）設直線
，x軸及y=f(x)的圖像圍成的矩形的面積為ai(i=1，2…)，記
，求S(k)的表達式，并寫出其定義域和最小值。
| 2 |
| x |
| 2 |
| 2 | x |
已知函數f(x)＝
x3＋
x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.
（1）求函數f(x)的單調區間；
（2）若函數f(x)在區間(－2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當a＝1時，設函數f(x)在區間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數g(t)在區間[－3，－1]上的最小值.
一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運算．每小題5分，滿分60分．
1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D7.C 8.A 9.C 10.B
11．C 12．C
二、填空題：13、4 14．
15．
16.
三、解答題：
17. 解：f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=
(2分)
（１）當a=1時，f(x)= 
,
當
時，f(x)是增函數，所以f(x)的單調遞增區間為
（6分）
（２）由
得
，∴
∴當sin(x+
)=1時，f(x)取最小值3，即
，
當sin(x+)=
時，f(x)取最大值4，即b=4.
（10分）
將b=4 代入上式得
，故a+b=
（12分）
18．解：設甲、乙兩條船到達的時刻分別為x,y.則
若甲先到，則乙必須晚1小時以上到達，即
若乙先到達，則甲必須晚2小時以上到達，即
作圖，(略).利用面積比可算出概率為
.
19．解 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是
等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，
平面ABCD，所以PA⊥BE.而
AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF.過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，
AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.
則AG⊥PF.連結HG，由三垂線定理的逆定理得，
PF⊥HG.
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.
在等腰Rt△PAF中， 
在Rt△PAB中， 
所以，在Rt△AHG中， 
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是
解法二 如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2），
（Ⅰ）因為
，平面PAB的一個法向量是
，所以
共線.從而BE⊥平面PAB.
又因為平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
設
是平面PBE的一個法向量，則由
得
所以
設
是平面PAD的一個法向量，則由
得
所以
故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是
20. 解法：
（I）
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由
得
故
21. 解:設
:
代入
得
設P(
),Q
整理，
此時，
22．本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分．
解法一：
（Ⅰ）因為
，所以函數定義域為（
，+
），且
．
由
得
，
的單調遞增區間為（，0）；
由
得x>0，的單調遞增區間為（0，+）．
（Ⅱ）因為在[0，n]上是減函數，所以
，
則
．
（?）
，
又
，
因此
，即實數c的取值范圍是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．
因為
，
所以
，
則
．
．
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因為f(x)在
上是減函數，所以，
則．
（?）因為
對
恒成立．所以
對恒成立．
則
對恒成立．
設
，，則c＜g(n)對恒成立．
考慮
．
因為
，
所以
在
內是減函數；則當時，g(n)隨n的增大而減小，
又因為
＝1．
所以對一切
．因此，即實數
的取值范圍是．
（?）由（?）知．
下面用數學歸納法證明不等式
．
①當n=1時，左邊＝
，右邊＝
，左邊<右邊．不等式成立．
②假設當n=k時，不等式成立．即
．
當n=k+1時，
，
即
時，不等式成立
綜合①，②得，不等式
成立．
所以
即
．
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