湖北省八校2009年高考第二次聯考
鄂南高中 黃岡中學 黃石二中 華師一附中 孝感高中 襄樊五中 荊州中學 襄樊四中
數學試題（文）
命題人：襄樊五中 劉軍 何宇飛 審題人：襄樊四中 何天海
考試時間：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．
成立的充要條件是：（ ）
A．
B．
C．且 D．或
2．設函數
在區間
上是增函數，則
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
、
是不共線的向量，
，
，則
、
、
三點共線的充要條件是：（ ）
A．
B．
C．
D．
4．設映射
是實數集M到實數集P的映射，若對于實數
，
在M中不存在原象，則的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在數列
中，若
，且
，則
（ ）
A．2007 B．
6．要從10名女生和5名男生中選出6名學生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函數
(其中
是自然對數的底數)的反函數為
，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．半徑為1的球面上有A，B，C三點，其中點A與B、C兩點間的球面距離均為
，
B、C兩點間的球面距離為
，則球心到平面
的距離為（ ）
A．
B
C．
D．
9．已知函數
，對定義域內的任意
，都滿足條件
．若
，
，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
，若方程
的兩個實數根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．
的常數項是
（用數學作答）．
12．在
中，
，
，
所對的邊分別是
，，
，已知
，則
．
13．若實數，
滿足條件
，則目標函數
的最大值為 ．
14．
中，
，以點為
一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一
個焦點在
邊上，且這個橢圓過、
兩點，則這個橢圓的焦距長為 ．
15．已知函數
為偶
函數，且滿足不等式
，則的值為
．
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本題滿分12分)已知向量
，
，
，
．函數
，若
的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1，且過點
．
(Ⅰ)求函數
的表達式．
(Ⅱ)當
時，求函數的單調區間．
17．(本題滿分12分)在某社區舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是
．
(Ⅰ)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率．
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率．
18．(本題滿分12分)如圖，已知正三棱柱
的各棱長都為，
為棱
上的動點．
(Ⅰ)當
時，求證：
．
(Ⅱ) 若
，求二面角
的大小．
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，求點
到平面
的距離．
19．(本題滿分12分)已知函數
，函數的圖像在點
的切線方程是
．
(Ⅰ)求函數的解析式：
(Ⅱ)若函數在區間
上是單調函數，求實數
的取值范圍．
20．(本題滿分13分)過軸上動點
引拋物線
的兩條切線
，
，，
為切點．
(Ⅰ)若切線，的斜率分別為
和
，求證：
為定值，并求出定值．
(Ⅱ) 求證：直線
恒過定點，并求出定點坐標．
(Ⅲ)當
最小時，求
的值．
21．(本題滿分14分)已知數列中，
，
，其前
項和
滿足
，令
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)令
，求證：
①對于任意正整數，都有
．
②對于任意的
，均存在
，使得
時，
．
一、
二、11.210 12. 
13.2 14.
15. 
或
或
三．解答題：
16. 解：（1）
……………………………………………………………3分
由題意得周期
，故
…………………………………………4分
又圖象過點
，所以
即
，而
，所以
∴
……………………………………………………6分
（2）當
時，
∴當
時，即
時，
是減函數
當
時，即
時，是增函數
∴函數的單調減區間是
，單調增區間是
………………12分
17.解：記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件
、
、
，則
，且有
，即
∴
……………………………………………………………………6分
（2）由（1）
,
.
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：
……………………12分
18. 解法一 公理化法
（1）當
時，取
的中點
，連接
，因為
為正三角形，則
，由于
為
的中點時，
∵
平面
,∴
平面,∴
.………………………………………………4分
（2）當
時，過作
于
,如圖所示，則
底面
,過作
于
,連結
，則
,
為二面角
的平面角，
又
,
又
，
,即二面角的大小為
.…………………………………………………8分
(3)設
到面
的距離為
，則
,
平面
,
即為點到平面的距離，
又
，
即
解得
，
即到平面的距離為
.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以為原點，為
軸，過點與垂直的直線為
軸，
為
軸，建立空間直角坐標系
，如圖所示，
設
，則
（1）由得
，
則
，
，
………………………………4分
（2）當時，點的坐標是
設平面的一個法向量
，則
即
取
，則
，
又平面的一個法向量為
又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分
（3）設到面的距離為，
則
到平面的距離為.………………………………………………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)由于
，
故在點
處的切線方程是
…………………………………………2分
即
，故
與表示同一條直線，
，
即
，
，
.……6分
(Ⅱ) 由于
，
則
或
，所以函數的單調區間是
，…………………………8分
故
或
或
或
或
，
或
或
實數
的取值范圍是
.………………………………………………………12分
20. 解：（Ⅰ）設過
與拋物線
的相切的直線的斜率是，
則該切線的方程為：
由
得
，
則
都是方程
的解，故
………………………………………………4分
（Ⅱ）設
由于
，故切線
的方程是：
，又由于點在上，則
則
，
，同理
則直線
的方程是
，則直線過定點
.………………………………………8分
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直線的距離最小，
而到直線的距離
，當且僅當
即
時取等號.………………………………………………………………10分
設
由
得
，則
.…………13分
21. 解：(Ⅰ)由題意知
即
……1分
…………3分
檢驗知
時，結論也成立
故
.………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ①由于
故
………………………………………………9分
②若
，其中
，則有
，則
，
故
，
取
（其中
表示不超過的最大整數），則當
時，. ………………………………………………………14分
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