湖北省武昌區2009屆高三年級元月調研考試
理 科 數 學 2009.1.6
本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項:
1.答卷前,考生務必將自已的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證
號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題選出答案后，有2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。非選擇題用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卡
上。答在試題卷上無效。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是
，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式
，其中
表示球的半徑
球的體積公式
，其中表示球的半徑
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．設集合
，
，則（ ）
A．
B．
C.
D．
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知復數
滿足
（
為虛數單位），則的共軛復數
的虛部是（ ）
A.
B.
C. 
D.
4．若圓
的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線
和
軸都相切，則該圓的標準方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.若二項式
的展開式中各項系數的和是512，則展開式中的常數項為（ ）
A.
B.
C.
D. 
6．在等比數列
中,
,前
項和為
.若數列
也成等比數列,則等于（ ）
A.
B.
C. 
D.
7．若隨機變量
服從正態分布~
，
，則隨機變量
的期望是（ ）
A．
B.
C. 
D. 
8．把函數
的圖象按向量
平移后，得到函數
的圖象，若函數
的圖象與的圖象關于直線
對稱，則
的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
9．已知函數f (x)
的圖象如圖所示，
是函數f (x)的導函數，且
是奇函數，給出以下結論:
①
； ②
；
③
；
④
.
其中一定正確的是 ( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
10．已知函數
，則對于任意實數
、
（
），
的值（ ）
A.恒大于0 B.恒等于
二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.
11. 過點
的直線
與曲線：
相交于
兩點,若點
是弦
的中點，則直線的方程為______________________.
12. 給出下列命題: ①垂直高考資源網版權所有于同一直線的兩條直線平行;②若一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則它垂直于另一條;③若一條直線與兩條平行線中的一條相交，則它與另一條相交;④一條直線至多與兩條異面直線中的一條相交.
其中正確命題的序號是____________ (寫出所有正確命題的序號).
13．數列
=
.
14.如果在一周內(周一至周日)安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所
學校，要求甲學校連續參觀兩天，其余兩所學校均只參觀一天，那么不同的安排方法
共有_____種.
15．已知
是△
的外心，
，
，
.設
，
,若
，則
______________.
三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
設函數
，其中向量
，
，且
．
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求函數
在區間
上的最大值．
17．（本小題滿分12分）
某工廠規定，如果工人在一個季度里有1個月完成生產任務，可得獎金90元；如果有2個月完成生產任務，可得獎金210元；如果有3個月完成生產任務，可得獎金330元；如果工人三個月都未完成任務，則沒有獎金.假設某工人每月完成任務與否是等可能的，求此工人在一個季度里所得獎金的期望.
18．（本小題滿分12分）
已知四棱錐 
的底面是直角梯形，
∥
，
，
，側面
底面
.
（Ⅰ）求證:
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值.
19. （本小題滿分12分）
平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，－2），點C滿足
、
.
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）設點C的軌跡與雙曲線
交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若雙曲線的離心率不大于
，求雙曲線實軸長的取值范圍.
20．（本小題滿分13分）
已知函數
.
(Ⅰ)若
在
上是增函數,求實數
的取值范圍；
(Ⅱ)是否存在正實數,使得的導函數
有最大值
?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
21．（本小題滿分14分）
已知數列
（Ⅰ）求數列
的通項公式；
（Ⅱ）設
，試推斷是否存在常數A，B，C，使對一切
都有
成立？說明你的理由；
（Ⅲ）求證：
湖北省武昌區2009屆高三年級元月調研考試
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
B
C
A
C
B
A
二.填空題
11. 
12. ② 13． 14.
120 15． 
三.解答題
16．解：（Ⅰ）
. …………………………………3分
由
，得
．
………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
. ………………8分
由
,得
.
當
,即時,函數
有最大值
. ……………………12分
17．解：設此工人一個季度里所得獎金為，則是一個離散型隨機變量.由于該工人每月完成任務與否是等可能的,所以他每月完成任務的概率等于. …………………2分
所以, 
,
,
,
. …………8分
于是
.
所以此工人在一個季度里所得獎金的期望為153. 75元. ……………………12分
18．解：（Ⅰ）取BC的中點H,連結PH, 連結AH交BD于E.
. ……………………………2分
又面
面
,
面.
,
.
,
.
,即
. ………………………………………………4分
因為AH為PA在平面上的射影,
. ……………………………6分
（Ⅱ）連結PE,則由（Ⅰ）知
.
為所求二面角的平面角. ……………………………………………8分
在
中,由
,求得
.
.
即所求二面角的正切值為
. …………………………………………………12分
另解：（Ⅰ)建系設點正確2分,求出兩個法向量2分,判斷正確2分;
(Ⅱ)求出兩個法向量3分,求出余弦值2分,求出正切值1分.
19. 解：（Ⅰ）設
,則
,
.
即點C的軌跡方程為
. …………………………………………………3分
（Ⅱ）
由題意
.
. ……………5分
.
,
. ……………………………8分
（Ⅲ）
.
.
.
∴雙曲線實軸長的取值范圍是
. ………………………………………………12分
20．解: (Ⅰ)由已知得的定義域為
,
. ………………2分
由題意得
對一切
恒成立,
……………………………………………5分
當時,
,
.故
.
…………………………………………7分
(Ⅱ)假設存在正實數,使得
成立.
.
…………………9分
由
,得
,
.由于
,故應舍去.
當
時,
………………………………………11分
令
,解得
或
. …………………………13分
另解: 假設存在正實數,使得成立.
設
,則
. ………………………9分
由
,解得
或
.
因為
,
在
上單調遞增,在
上單調遞減.
. … ……………………………………11分
令
,解得或. …………………………13分
21．解：（Ⅰ）由已知
，得
.
則數列
是公比為2的等比數列. ……………………………………………2分
又
. ……………………………………………4分
（Ⅱ）
. …………………6分
恒成立，則
解得
故存在常數A，B，C，滿足條件. …………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
. …………………14分
=
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