題目列表(包括答案和解析)
在正三棱柱
中，
求證：⑴
；
（2）求二面角
的正切值。
中，
求證：⑴
；
（2）求二面角
的正切值。
(13分) 如圖，直三棱柱
中，
，
，
.
(Ⅰ)證明：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值.
(13分) 如圖，直三棱柱
中，
，
，
.
(Ⅰ)證明：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值. 
中，
，
，
.
；
的正切值. 
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
B
C
A
C
B
A
二.填空題
11. 
12. ② 13． 
14.
120 15． 
三.解答題
16．解：（Ⅰ）
. …………………………………3分
由
，得
．
………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
. ………………8分
由
,得
.
當
,即
時,函數
有最大值
. ……………………12分
17．解：設此工人一個季度里所得獎金為
，則是一個離散型隨機變量.由于該工人每月完成任務與否是等可能的,所以他每月完成任務的概率等于. …………………2分
所以, 
,
,
,
. …………8分
于是
.
所以此工人在一個季度里所得獎金的期望為153. 75元. ……………………12分
18．解：（Ⅰ）取BC的中點H,連結PH, 連結AH交BD于E.
. ……………………………2分
又面
面
,
面.
,
.
,
.
,即
. ………………………………………………4分
因為AH為PA在平面上的射影,
. ……………………………6分
（Ⅱ）連結PE,則由（Ⅰ）知
.
為所求二面角的平面角. ……………………………………………8分
在
中,由
,求得
.
.
即所求二面角的正切值為
. …………………………………………………12分
另解：（Ⅰ)建系設點正確2分,求出兩個法向量2分,判斷正確2分;
(Ⅱ)求出兩個法向量3分,求出余弦值2分,求出正切值1分.
19. 解：（Ⅰ）設
,則
,
.
即點C的軌跡方程為
. …………………………………………………3分
（Ⅱ）
由題意
.
. ……………5分
.
,
. ……………………………8分
（Ⅲ）
.
.
.
∴雙曲線實軸長的取值范圍是
. ………………………………………………12分
20．解: (Ⅰ)由已知得的定義域為
,
. ………………2分
由題意得
對一切
恒成立,
……………………………………………5分
當時,
,
.故
.
…………………………………………7分
(Ⅱ)假設存在正實數
,使得
成立.
.
…………………9分
由
,得
,
.由于
,故應舍去.
當
時,
………………………………………11分
令
,解得
或
. …………………………13分
另解: 假設存在正實數,使得成立.
設
,則
. ………………………9分
由
,解得
或
.
因為
,
在
上單調遞增,在
上單調遞減.
. … ……………………………………11分
令
,解得或. …………………………13分
21．解：（Ⅰ）由已知
，得
.
則數列
是公比為2的等比數列. ……………………………………………2分
又
. ……………………………………………4分
（Ⅱ）
. …………………6分
恒成立，則
解得
故存在常數A，B，C，滿足條件. …………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
. …………………14分
=
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