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設MN是雙曲線的弦，且MN與x軸垂直，A₁、A₂是雙曲線的左、右頂點．
（Ⅰ）求直線MA₁和NA₂的交點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點，若軌跡C上的點P滿足（O為坐標原點，λ，μ∈R）
求證：為定值，并求出這個定值．

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一.選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

C

B

B

C

A

C

B

A

二.填空題

11.      12. ②     13．       14. 120     15．

三.解答題

16．解：（Ⅰ）.  …………………………………3分

由，得． ………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.  ………………8分

由,得.

當,即時,函數 有最大值.  ……………………12分

17．解：設此工人一個季度里所得獎金為，則是一個離散型隨機變量.由于該工人每月完成任務與否是等可能的,所以他每月完成任務的概率等于.   …………………2分

所以,  ,,

,.    …………8分

于是.

所以此工人在一個季度里所得獎金的期望為153. 75元.     ……………………12分

18．解：（Ⅰ）取BC的中點H,連結PH, 連結AH交BD于E.

.    ……………………………2分

又面面,面.

  ,.

,.

,即.        ………………………………………………4分

因為AH為PA在平面上的射影,.   ……………………………6分

（Ⅱ）連結PE,則由（Ⅰ）知.

為所求二面角的平面角.       ……………………………………………8分

在中,由,求得.

.

即所求二面角的正切值為.     …………………………………………………12分

另解：（Ⅰ)建系設點正確2分,求出兩個法向量2分,判斷正確2分;

(Ⅱ)求出兩個法向量3分,求出余弦值2分,求出正切值1分.

19. 解：（Ⅰ）設,則

,.

即點C的軌跡方程為.    …………………………………………………3分

（Ⅱ）由題意.

. ……………5分

.

,

.       ……………………………8分

（Ⅲ）..

.

∴雙曲線實軸長的取值范圍是.   ………………………………………………12分

20．解: (Ⅰ)由已知得的定義域為,.   ………………2分

由題意得對一切恒成立,

      ……………………………………………5分

當時,,

.故.      …………………………………………7分

(Ⅱ)假設存在正實數,使得成立.

.  …………………9分

由,得,.由于,故應舍去.

當時,    ………………………………………11分

令,解得或.   …………………………13分

另解: 假設存在正實數,使得成立.

設,則.    ………………………9分

由,解得或.

因為,在上單調遞增,在上單調遞減.

.    … ……………………………………11分

令,解得或.   …………………………13分

21．解：（Ⅰ）由已知，得.  

則數列是公比為2的等比數列.    ……………………………………………2分

又.   ……………………………………………4分

（Ⅱ）.   …………………6分

恒成立，則

解得

故存在常數A，B，C，滿足條件.       …………………………………………9分

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知：

.    …………………14分

=