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江蘇省通州市2009屆高考回歸課本專項(xiàng)檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

(考試時(shí)間：120分鐘；滿分：160分)

一、填空題：（共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．把答案填在答題紙指定的橫線上）

1. 若集合= ．

2．在某項(xiàng)才藝競(jìng)賽中，有9位評(píng)委，主辦單位規(guī)定計(jì)算參賽者比賽成績(jī)的規(guī)則如下：剔除評(píng)委中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，再計(jì)算其它7位評(píng)委的平均分作為此參賽者的比賽成績(jī)．現(xiàn)有一位參賽者所獲9位評(píng)委一個(gè)最高分為86分、一個(gè)最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時(shí)9位評(píng)委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績(jī)?yōu)?/p>

分．

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3．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為 .

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4. 已知條件條件且是的充分不必要條件，則a的取值范圍是．

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5. 設(shè)是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若

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，則公比的取值范圍是 .

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6. 若正三棱錐的主視圖與俯視圖如下（單位cm），則左視圖的面積為．

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7. 根據(jù)上面的框圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為 .

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8. 若是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則函數(shù)的零點(diǎn)有________個(gè).

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9. 函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為 .

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10. 已知圓的方程為，是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的垂直平分線總是被平面區(qū)域覆蓋，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .

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11.己知雙曲線的方程為，直線的方程為，過雙曲線的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于P、，以為直徑的圓與直線相交于、，記劣弧的長(zhǎng)度為，則的值為 .

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12. 在中，若，則的外接圓半徑．

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將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體中，若兩

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兩垂直，，則四面體的外接球半徑R= ．

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13. 設(shè)函數(shù)，,若對(duì)于任意，總存在，使得成立．則正整數(shù)a的最小值為 .

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14. 在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色，先染 1，再染2個(gè)偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù) 5、7、9；再染 9 后面最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù) 10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25. 按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列 1，2，4，5，7，9，12，14，16,17，…. 則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2009個(gè)數(shù)是 .

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二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.（本小題14分）已知向量.

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（1）若,求的值；

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（2）記，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c，且滿足

（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f(A)的取值范圍.

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16. （本小題14分）已知關(guān)于的一元二次函數(shù)

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（1）設(shè)集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和，求函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率；

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（2）設(shè)點(diǎn)（，）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)上是增函數(shù)的概率.

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17. （本小題15分）如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，且，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.

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（1）求證：平面；

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（2）設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面；

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（3）設(shè)平面將幾何體分成的兩個(gè)錐體的

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體積分別為，，求．

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18. （本小題15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓與直線：，恒有公共點(diǎn)，且要求使圓的面積最小.

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（1）寫出圓的方程；

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（2）圓與軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使、、成等比數(shù)列，求的范圍；

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（3）已知定點(diǎn)Q（，3），直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，試判斷是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時(shí)直線的方程，若不存在，給出理由.

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19. （本小題16分）已知函數(shù)，，其中．

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（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

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（2）若函數(shù)在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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20. （本小題16分）已知數(shù)列和滿足

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(1)當(dāng)m=1時(shí)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)一定不是等差數(shù)列；

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(2)當(dāng)時(shí)，試判斷是否為等比數(shù)列；

回歸課本專項(xiàng)檢測(cè)

數(shù)學(xué)附加題

(考試時(shí)間：30分鐘；滿分：40分)

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21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

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A．【選修4－1：幾何證明選講】如圖，已知為圓O的直徑，直線與圓O相切于點(diǎn)，直線與弦垂直并相交于點(diǎn)，與弧相交于，連接,,.

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（1）求證：；

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（2）求.

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B．【選修4－2：矩陣與變換】矩陣與變換：給定矩陣．

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試求矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．

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C．【選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程：，求直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

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D．【選修4－5：不等式選講】設(shè),求證：.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

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22. 一種填數(shù)字彩票2元一張，購(gòu)買者在卡上依次填上0~9中的兩個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）．中獎(jiǎng)規(guī)則如下：如果購(gòu)買者所填的兩個(gè)數(shù)字依次與開獎(jiǎng)的兩個(gè)有序數(shù)字分別對(duì)應(yīng)相等，則中一等獎(jiǎng)10元；如果購(gòu)買者所填的兩個(gè)數(shù)字中，只有第二個(gè)數(shù)字與開獎(jiǎng)的第二個(gè)數(shù)字相等，則中二等獎(jiǎng)2元；其他情況均無獎(jiǎng)金．

（1）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎(jiǎng)的概率；

（2）求購(gòu)買一張這種彩票中獎(jiǎng)的概率；

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（3）設(shè)購(gòu)買一張這種彩票的收益為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望．

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23. 動(dòng)點(diǎn)P在x軸與直線l：y＝3之間的區(qū)域（含邊界）上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，1）和直線l的距離之和為4．

（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)Q（0，－1）作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成的區(qū)域的面積．

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一、填空題：

1．；2． 79 ；3.1； 4．； 5.；6. ； 7.16 ；8.7； 9.2； 10. ； 11. ； 12. ； 13. 2； 14. 3955.

特別說明：有消息說，今年數(shù)學(xué)的填空題的壓軸題將比較新、比較難，我們?cè)谠u(píng)講時(shí)要教育學(xué)生有這方面的心理準(zhǔn)備。

二、解答題：

15.解：（1）

∵ ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

┉┉┉┉┉┉┉7分

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC┉┉┉┉┉┉8分

∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)

∵∴，

∴┉┉┉┉┉┉10分

∴┉┉┉┉┉┉11分

∴┉┉┉┉┉┉12分

又∵,∴ ┉┉┉┉┉┉13分

故函數(shù)f(A)的取值范圍是┉┉┉┉┉┉14分

16. 解：（1）∵函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為

要使在區(qū)間上為增函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)>0且 ……………………………3分

若=1則=－1，

若=2則=－1，1

若=3則=－1，1； ……………………………5分

∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5

∴所求事件的概率為 ……………………………7分

（2）由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)且>0時(shí)，

函數(shù)上為增函數(shù)，

依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?sub>

構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切尾糠帧?nbsp; ………………………………9分

由 ……………………………11分

∴所求事件的概率為 ……………………………　14分

17. （1）證明：平面平面,,

平面平面=，平面，

平面， ,………　2分

又為圓的直徑，，平面。………　5分

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，則，為平行四邊形， ………　7分

，又平面，平面，

平面。………　9分

(3)過點(diǎn)作于，平面平面，

平面，，………　11分

平面，

，………　14分

． ………　15分

18. 解：（1）因?yàn)橹本€：過定點(diǎn)T（4，3）………　2分

由題意，要使圓的面積最小, 定點(diǎn)T（4，3）在圓上，

所以圓的方程為；………　4分

（2）A（-5，0），B（5，0），設(shè)，則……（1）

，，

由成等比數(shù)列得，，

即，整理得：,

即……（2）

由（1）（2）得：，，

………………………　9分

（3）

，………　11分

由題意，得直線與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），又知定點(diǎn)Q（，3），

直線：，，則當(dāng)時(shí)有最大值32. ………　14分

即有最大值為32，

此時(shí)直線的方程為.………　15分

特別說明：第19題、第20題不是完整的壓軸題，原作者都有第3問設(shè)計(jì)，為了強(qiáng)化考試策略教育，讓學(xué)生有信心做壓軸題的開始一兩問，并在考前體會(huì)做好基礎(chǔ)題可以拿高分，我們特意進(jìn)行了刪減處理。特別優(yōu)秀的班級(jí)（如市中的奧班，可以添加第三問（祥見文末附件），并將評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)作相應(yīng)調(diào)整。

19.解：（1）∵，其定義域?yàn)?sub>，

∴．………………………　3分

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．

∵，∴． ………………………　6分

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴．　 ………………………　8分

（2）由題意，可知方程在區(qū)間上有根，因?yàn)?sub>在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，………………………　10分

所以，………………………　14分

………………………　16分

20.解：(1) ┉┉┉┉┉┉2分

┉┉┉┉┉┉5分

┉┉┉┉┉┉8分

（2） ┉┉┉┉┉┉10分

┉┉┉┉┉┉12分

┉┉┉┉┉┉14分

┉┉┉┉┉┉16分

附加題部分

A（1）證明：因?yàn)?sub>，所以

又是圓O的直徑，所以

又因?yàn)?sub>（弦切角等于同弧所對(duì)圓周角）……………………3分

所以所以

又因?yàn)?sub>，所以相似

所以，即 ……………………5分

（2）解：因?yàn)?sub>，所以，

因?yàn)?sub>，所以

由（1）知：。所以 ……………………8分

所以，即圓的直徑

又因?yàn)?sub>，即

解得 ……………………10分

B.解：令得到： ……………2分

解得： ……………………6

所以，矩陣A的特征值為2和3．

當(dāng)，　令得，

所以，對(duì)應(yīng)的特征向量為 ……………………8

當(dāng)，　令得，所以，對(duì)應(yīng)的特征向量為

　矩陣Ａ的兩個(gè)特征值分別是2和3，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別是和．…10分

C.解：將直線的參數(shù)方程化為普通方程為： ……………………2分

將圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程為： ………………4分

從圓方程中可知：圓心C（1，1），半徑，

所以，圓心C到直線的距離 …………6分

所以直線與圓C相交．　　　　　　　　　　　　　　　……………………7分

所以直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為.……………………10分

D.證明：要證原不等式成立，只須證：

即只須證：

由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立.

22.解：（1）設(shè)“小明中一等獎(jiǎng)”為事件B₁ ，“小輝中一等獎(jiǎng)”為事件B₂ ，事件B₁與事件B₂相互獨(dú)立，他們倆都中一等獎(jiǎng)，則P(B₁B₂)=P(B₁)P(B₂)=0.0001

所以，購(gòu)買兩張這種彩票都中一等獎(jiǎng)的概率為．………..3分

（2）設(shè)“購(gòu)買一張這種彩票中一等獎(jiǎng)”為事件A，“購(gòu)買一張這種彩票中二等獎(jiǎng)”為事件B，顯然，事件A與事件B互斥，

所以， ……………………5分

故購(gòu)買一張這種彩票能中獎(jiǎng)的概率為0.1．……………………6分

（3）對(duì)應(yīng)不中獎(jiǎng)、中二等獎(jiǎng)、中一等獎(jiǎng)，的分布列如下：

……………………9分

購(gòu)買一張這種彩票的期望收益為損失元．……………………10分

23. 解：（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，得．………3分

化簡(jiǎn)，得．……………………………………………4分

（2）設(shè)過Q的直線方程為，代入拋物線方程，整理，得．

∴△＝．解得．………………………………………6分

所求切線方程為（也可以用導(dǎo)數(shù)求得切線方程），

此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），（－2，1），且切點(diǎn)在曲線C上． …………8分

由對(duì)稱性知所求的區(qū)域的面積為

．……………………………10分

附件：

第19題第3問：

（3）若對(duì)任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（3）對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥．………………………　7分

當(dāng)［1，］時(shí)，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴．………………………9分

∵，且，．

①當(dāng)且

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