題目列表(包括答案和解析)
（12分）
一種填數字彩票2元一張，購買者在彩票上依次填上0～9中的兩個數字（允許重復），中獎規則如下:如果購買者所填的兩個數字依次與開獎的四個有序數字分別對應相等，則中一等獎10元；如果購買者所填的兩個數字中，只有第二個數字與開獎的第二個數字相等，則中二等獎2元，其他情況均不中獎。
⑴小明和小輝在沒有商量的情況下各買了一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
⑵求購買一張這種彩票能夠中獎的概率；
⑶設購買一張這種彩票的收益為隨機變量§，求§的數學期望。
彩票上依次填上0～9中的兩個數字（允許重復），中獎規則如下:如果購買者所填的兩個數字依次與開獎的四個有序數字分別對應相等，則中一等獎10元；如果購買者所填的兩個數字中，只有第二個數字與開獎的第二個數字相等，則中二等獎2元，其他情況均不中獎。一、填空題：
1．
；2． 79 ；3.1； 4． 
； 5.
；6. 
； 7.16 ；8.7；
9.2；
10. 
； 11. 
； 12. 
； 13. 2； 14. 3955.
特別說明：有消息說，今年數學的填空題的壓軸題將比較新、比較難，我們在評講時要教育學生有這方面的心理準備。
二、解答題：
15.解：（1）
∵
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
┉┉┉┉┉┉┉7分
（2）∵（
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC┉┉┉┉┉┉8分
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)
∵
∴
，
∴
┉┉┉┉┉┉10分
∴
┉┉┉┉┉┉11分
∴
┉┉┉┉┉┉12分
又∵
,∴
┉┉┉┉┉┉13分
故函數f(A)的取值范圍是
┉┉┉┉┉┉14分
16. 解：（1）∵函數
的圖象的對稱軸為
要使在區間
上為增函數，
當且僅當
>0且
……………………………3分
若=1則
=－1，
若=2則=－1，1
若=3則=－1，1；
……………………………5分
∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5
∴所求事件的概率為
……………………………7分
（2）由（Ⅰ）知當且僅當
且>0時，
函數
上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為
構成所求事件的區域為三角形部分。 ………………………………9分
由
……………………………11分
∴所求事件的概率為
…………………………… 14分
17. （1）證明： 
平面
平面
,
,
平面
平面=
，
平面，
平面，
,……… 2分
又
為圓
的直徑，
， 
平面
�！�5分
（2）設
的中點為
，則
，又
，則，
為平行四邊形，
……… 7分
，又
平面
，
平面，
平面�！�9分
(3)過點
作
于
，平面平面，
平面
，
，……… 11分
平面，
，……… 14分
． ……… 15分
18. 解：（1）因為直線
：
過定點T（4，3）……… 2分
由題意，要使圓的面積最小, 定點T（4，3）在圓上，
所以圓的方程為
；……… 4分
（2）A（-5，0），B（5，0），設
，則
……（1）
，
，
由
成等比數列得，
，
即
，整理得：
,
即
……（2）
由（1）（2）得：
，
，
……………………… 9分
（3）
，……… 11分
由題意，得直線與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（
，3），
直線
：
，
，則當
時
有最大值32. ……… 14分
即
有最大值為32，
此時直線
的方程為
.……… 15分
特別說明：第19題、第20題不是完整的壓軸題，原作者都有第3問設計，為了強化考試策略教育，讓學生有信心做壓軸題的開始一兩問，并在考前體會做好基礎題可以拿高分，我們特意進行了刪減處理。特別優秀的班級（如市中的奧班，可以添加第三問（祥見文末附件），并將評分標準作相應調整。
19.解：（1）∵
，其定義域為
，
∴
．……………………… 3分
∵
是函數
的極值點，∴
，即
．
∵
，∴
． ……………………… 6分
經檢驗當時，是函數的極值點，
∴．
……………………… 8分
（2）由題意，可知方程
在區間
上有根，因為
在上是單調減函數，
在上是單調增函數，……………………… 10分
所以，
……………………… 14分
……………………… 16分
20.解：(1) 
┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉5分
┉┉┉┉┉┉8分
（2）
┉┉┉┉┉┉10分
┉┉┉┉┉┉12分
┉┉┉┉┉┉14分
┉┉┉┉┉┉16分
附加題部分
A（1）證明：因為
，所以
又
是圓O的直徑，所以
又因為
（弦切角等于同弧所對圓周角）……………………3分
所以
所以
又因為
，所以
相似
所以
，即
……………………5分
（2）解：因為
，所以
，
因為
，所以
由（1）知：
。所以
……………………8分
所以
，即圓的直徑
又因為
，即
解得
……………………10分
B.解：令
得到：
……………2分
解得：
……………………6
所以，矩陣A的特征值為2和3．
當
，
令
得
，
所以，對應的特征向量為
……………………8
當
，
令得
，所以，對應的特征向量為
矩陣Ａ的兩個特征值分別是2和3，它們對應的特征向量分別是和．…10分
C.解：將直線的參數方程化為普通方程為：
……………………2分
將圓C的極坐標方程化為普通方程為：
………………4分
從圓方程中可知：圓心C（1，1），半徑
，
所以，圓心C到直線的距離
…………6分
所以直線與圓C相交． ……………………7分
所以直線被圓C截得的弦長為
.……………………10分
D.證明：要證原不等式成立，只須證：
即只須證：
由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立.
22.解：（1）設“小明中一等獎”為事件B1 ，“小輝中一等獎”為事件B2 ，事件B1與事件B2相互獨立，他們倆都中一等獎，則P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.0001
所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為
．………..3分
（2）設“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，顯然，事件A與事件B互斥，
所以，
……………………5分
故購買一張這種彩票能中獎的概率為0.1．……………………6分
（3）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，
的分布列如下：
……………………9分
購買一張這種彩票的期望收益為損失
元．……………………10分
23. 解：（1）設P（x，y），根據題意，得
．………3分
化簡，得
．……………………………………………4分
（2）設過Q的直線方程為
，代入拋物線方程，整理，得
．
∴△＝
．解得
．………………………………………6分
所求切線方程為
（也可以用導數求得切線方程），
此時切點的坐標為（2，1），（－2，1），且切點在曲線C上． …………8分
由對稱性知所求的區域的面積為
．……………………………10分
附件：
第19題第3問：
（3）若對任意的
都有
成立，求實數的取值范圍．
（3）對任意的
都有
≥
成立等價于對任意的都有
≥
．……………………… 7分
當
［1，
］時，
．
∴函數
在
上是增函數．
∴
．………………………9分
∵
，且
，．
①當
且
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