蕪湖市2009屆高中畢業班模擬考試
數學試卷（理科）
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用2B鉛筆和0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）將姓名、準考證號、考試科目、試卷類型填涂在答題卡規定的位置上。
2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答案不能答在試題卷上。
3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。
4．參考公式：
第I卷（選擇題）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．集合
，則
A．
B．
C．
D．
2．復數
，則復數
在復平面內對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命題“
”的否定為
A．
B．
C．
D．
4．如圖所示是一個簡單幾何體的三視圖，其正視圖與側視圖是邊長為2的正三角形，俯視
圖為正方形，則其體積是
A．
B．
C．
D．
正視圖
側視圖
俯視圖
5．將直線
沿
平移后，所得直線與圓
相切實數
的值為
A．-3
B．
6．下列四個命題正確的是
①線性相關系數
越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越小；
②殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；
③用相關指數
來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好；
④隨機誤差
是衡量預報精確度的一個量，它滿足
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7．已知兩個不同的平面
、
和兩條不重合的直線
、
則下列四個命題不正確的是
A．若
則
B．若
C．若
則
D．若
，則
8．如果執行右圖的程序框圖，那么輸出的
=
A．2450 B．2500
C．2550 D．2652
9．在周長為16的
中，
，則
的取值
范圍是
A．
B．（0，16）
B．
D．
10．以下四個命題中，正確的個數是
①
中，
的充要條件是
；
②函數
在區間（1，2）上存在零點的充要條件是
；
③等比數列
中，
，則
；
④把函數
的圖象向右平移2個單位后，得到的圖象對應的解析式為
A．1
B．
11．設實數
滿足
，則
的取值范圍是
A．
] B．
C．
D．
12．冪指函數
在求導時，可運用對數法：在函數解析式兩邊求對數得
，兩邊同時求導得
=
，于是
，運用此方法可以探求得知
的一個單調遞增區間為
A．（0，2） B．（2，3） C．（
） D．（3，8）
第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．
的展開式中
項的系數為210，則實數的值為______________
14．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與
正半軸重合，則由曲線
和
（
為參數）圍成的平面圖形的面積是________
15．在中，
，給出滿足的條件，就能得到動點
的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：
條件
方程
①周長為10
②面積為10
③中，
則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別為________（用代號
、
、
填入）
16．設數列的前項和為
，且
，則數列的通項公式是_______________。
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本題滿分12分）
已知函數
其中
其中
，若
相鄰兩對稱軸間的距離不小于
。
（I）求
的取值范圍；
（Ⅱ）中，
分別是角
的對邊，
當最大時，
=1，求的面積。
18．（本題滿分12分）
如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，側棱
底面
是
的中點，作
交
于點
。
（I）證明：
平面
；
（Ⅱ）證明：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小。
19．（本題滿分12分）
（I）求選出的4人均為選《極坐標系與參數方程》的概率；
在“自選專題”考試中，某考場的每位同學都從《不等式選講》和《極坐標系與參數方程》兩專題中只選了一道數學題，第一小組選《不等式選講》的有1人，選《極坐標系與參數方程》的有5人，第二小組選《不等式選講》的有2人，選《極坐標系與參數方程》的有4人，現從第一、第二兩小組各任選2人分析得分情況。
（Ⅱ）設
為選出的4個人中選《不等式選講》的人數，求的分布列和數學期望。
20．（本題滿分12分）
已知函數
（I）求函數的單調區間和極值；
（Ⅱ）若對
均有
成立，求實數
的取值范圍。
21．（本題滿分12分）
已知二次函數
同時滿足：①方程
有且只有一個根；②在定義域內在
，使得不等式
成立；設數列的前項和
。
（I）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列
的前項和
；
（Ⅲ）證明：當
時，
。
22．（本題滿分14分）
已知橢圓
的左焦點為，左右頂點分別為，
，上頂點為
，過，
三點作⊙M，其中圓心
的坐標為（
）。
（I）若⊙M的圓心在直線
上，求橢圓
的方程。
（Ⅱ）若
、
是橢圓上滿足
的兩點，求證：
是定值。
蕪湖市2009屆高中畢業班模擬考試
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A 11．C 12．A
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．
14．18
15．
、
、
16．
三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．解：(Ⅰ)
=
函數
的周期
，
由題意可知
即
，
解得
，即
的取值范圍是
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
而
由余弦定理知
又
，
18．（I）證明：連結
交
于
，連結
底面
是正方形，
點
是
的中點，
在
中，是中位線，
，
而
平面
且
平面，所以，
平面
（Ⅱ）證明：
底面且
底面
，
，可知是等腰直角三角形，而
是斜邊
的中線。
①
同樣由
底面
得
底面是正方形，有
平面
。
而
平面
②
由①和②推得
平面
而平面
又
且
，所以
平面
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，
，故
是二面角
的平面角
由（2）知，
設正方形的邊長為
，則
在
中，
在
中，
所以，二面角的大小為
方法二；如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設
（I）證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG。
依題意得A（,0,0）,P(0,0, ),
底面是正方形，
是此正方形的中心，故點
的坐標為
）
且
，這表明
而
平面且平面
平面
（Ⅱ）證明：依題意得
，
又
，故
由已知，且
，所以平面
（Ⅲ）解：設點
的坐標為
，則
則
從而
所以
由條件知，
，即
，解得
點的坐標為
，且
即
，故二面角的平面角。
，且
所以，二面角的大小為（或用法向量求）
19．解：（I）設“從第一小組選出的2人均考《極坐標系與參數方程》”為事件A，“從第二小組選出的2人均考《極坐標系與參數方程》”為事件B，由于事件A、B相互獨立，
且
所以選出的4人均考《極坐標系與參數方程》的概率為
（Ⅱ）設
可能的取值為0，1，2，3，得
的分布列為
0
1
2
3
的數學期望
20．解：由題意
（I）當
時。
由
得
，解得
，函數的單調增區間是
；
由
得
，解得
，函數的單調減區間是
當
時，函數有極小值為
（2） 當時，由于
，均有
，
即
恒成立，
，
由（I）知函數極小值即為最小值，
，解得
21．解（I）方程
有且只有一個根，
或
又由題意知
舍去
當
時，
當
時，
也適合此等式
（Ⅱ）
①
②
由①-②得
（Ⅲ）法一：當
2時，
時，數列
單調遞增，
又由（II）知
法二：當
時，
22．（I）⊙M過點
三點，圓心
既在
的垂直平分線上，也在
的垂直平分線上，的垂直平分線方程為
的中點為
的垂直平分線方程為
由④⑤得
即
在直線
上。
由
得
橢圓的方程為
（Ⅱ）設
則
是定值；
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