通州區初三年級模擬考試（一）
數學試卷
2009年5月
考
生
須
知
1．本試卷共4頁，八道大題，25個小題，滿分120分.考試時間為120分鐘.
2．請在試卷和答題卡上認真填寫學校名稱、姓名和準考證號.
3．試題答案一律用黑色鋼筆、簽字筆按要求填涂或書寫在答題卡劃定的區域
內，在試卷上作答無效；作圖題可以使用黑色鉛筆作答.
4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題（每題只有一個正確答案，共8個小題，每小題4分，共32分）
1．
的相反數是
A． B．― C．
D．―
2．化簡（-a2）3 的結果
A．
B．
C．
D．
3．下列長度的三條線段，能組成三角形的是
A．
C．
4．在Rt△ABC中，∠C = 90°，若BC =
A．
B．
D．
5．把中考體檢調查學生的身高作為樣本，樣本數據落在1.6～2.0（單位：米）之間的頻率為0.28，于是可估計2 000名體檢中學生中，身高在1.6～2.0米之間的學生有
A．56 B．560 C．80 D．150
6．將拋物線
向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是
A．
B． C．
D．
7．若|x+3|+
=0，則x+2y的值為（
）
A．0 B．－1 C．1 D．5
8．如圖，邊長為2的正方體中，一只螞蟻從正方體下方一邊AB的中點P出發，沿著正方體的外表面爬到其一頂點C′ 處的最短路徑是
A．
B．2
C．2
D．4
二、填空題（共4個小題，每小題4分，共16分）
9．分解因式：a3b-ab
=_________________________.
10．如圖，該圖形經過折疊可以圍成一個正方體，折好以后
與“細”字相對的字是 ．
11．如圖，△ABC與△ADE都是直角三角形，∠B與∠AED都是直角，
點E在AC上，∠D＝30°，如果△ABC經過旋轉后能與△AED
重合，那么旋轉中心是點______，逆時針旋轉了______________度.
12．對于大于或等于2的自然數n的平方進行如下“分裂”，分裂成n個連續奇數的和，則自然數72的分裂數中最大的數是 ，自然數n
的分裂數中最大的數是 .
 |
三、解答題（共5道小題，每小題5分，共25分）
13．計算：
-2cos30°+(
)-2-?1-
?.
14．求不等式組
的整數解.
15．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，延長底邊AB到E，
使得BE=DC.
求證：AC=CE .
16．已知2x+y=0，求分式 
?(x+y)的值.
17．已知：反比例函數的圖象與一次函數的圖象在第一象限交于點M（1，3），且一次函數的圖象與y軸交點的縱坐標是2.
求：（1）這兩個函數的解析式；
（2）在第一象限內，當一次函數值小于反比例函數值時，x的取值范圍是 .
四、解答題（共2道小題，每小題5分，共10分）
18．如圖，在三角形ABC中，AC=BC，若將△ABC沿BC方向向右平移BC長的距離，
得到△CEF，連結AE.
（1）試猜想，AE與CF有何位置上的關系？
并對你的猜想給予證明；
（2）若BC=10，tan∠ACB=
時，求AB的長.
19．如圖，△ABC中，AB=AE，以AB為直徑
作⊙O交BE于C，過C作CD⊥AE于D，
DC的延長線與AB的延長線交于點P .
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的長.
五、解答題（本題滿分6分）
20．在“六一”兒童節來臨之際，初中某校開展了向山區“希望小學”捐贈圖書活動，全校1000名學生每人都捐贈了一定數量的圖
書.已知各年級人數分布的扇形統計圖如
圖（1）所示.學校為了了解各年級捐贈圖
書情況，從各年級中隨機抽查了200名學
生，進行捐贈圖書情況的統計，繪制成如
圖（2）的頻數分布直方圖.根據以上信息
解答下列問題： （1） （2）
（1）本次調查的樣本是 ；
（2）從圖（2）中，我們可以看出人均捐贈圖書最多的是 ；
（3）隨機抽查的200名學生中初三年級學生共捐贈圖書多少冊？
（4）估計全校共捐贈圖書多少冊？
六、解答題（共2道小題，第21題滿分5分，第22題滿分4分，共9分）
21．列方程解應用題：
一列火車從車站開出，預計行程450千米，當他開出3小時后，因搶救一位病危旅客而多停了一站，耽誤了30分鐘，為了不影響其他旅客的行程，后來把車速提高了0.2倍，結果準時到達目的地，求這列火車原來的速度？
22． 若關于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x＋1=0的兩實數根為x1 、x2 ，且x1＋x2=
,
x1?x2=
,兩實數根的倒數和是S.
求：（1）m的取值范圍；
（2）S的取值范圍.
七、解答題（共2道小題，每小題7分，共14分）
23．已知：如圖，一等邊三角形ABC紙片的邊長為2a，E是AB邊上一動點，（點E與點A、B不重合），過點E作EF∥BC，交AC于點F，設EF=x.
（1）用x的代數式表示△AEF的面積；
（2）將△AEF沿EF折疊，折疊后與四邊形BCFE
重疊部分的面積為y，求出y關于x的函數關
系式，并寫出自變量x的取值范圍.
24．下表給出了代數式x2+bx+c與x的一些對應值：
x
……
-1
0
1
2
3
4
……
x2+bx+c
……
3
-1
3
……
（1）根據表格中的數據，確定b、c的值，
并填齊表格空白處的對應值；
（2）設y=x2 + bx + c的圖象與x軸的交點為
A、B兩點（A點在B點左側），與y軸
交于點C，P為線段AB上一動點，過P
點作PE∥AC交BC于E，連結PC，
當△PEC的面積最大時，求P點的坐標.
八、解答題（本題滿分8分）
已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系.
圖 （1）
小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連結E′D，
使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數
量關系式，并對你的猜想給予證明；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線
段CB延長線上時，如圖（2），其它條件 圖（2）
不變，（1）中探究的結論是否發生改變？
請說明你的猜想并給予證明.
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
1-5. BCCBB 6-8. DCA
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
題號
9
10
11
12
答案
ab(a＋1)(a－1)
真
A
60°
13
2n－1
三、解答題（共5道小題，每小題5分，共25分）
13、計算：
-2cos30°+(
)-2-?1-
?
解：原式=3－2×
＋4 －（－1） ………………………4分
= 3－＋4－＋1
= ＋5
………………………………5分
14、求不等式組
的整數解
解：由 x-2(x－1)≤3
得 x≥－1 ……………………………………………2分
由 x＋1＞x
得 x＜2 ……………………………………………4分
∴不等式的整數解為－1、0、1 ……………………………5分
15、證明：在等腰梯形ABCD中
∵ AB∥CD AD=CB ，
∴ ∠DAB=∠CBA ……………1分
又 ∵∠CDA＋∠DAB=180°
∠CBA＋∠CBE=180°
∴∠CDA=∠CBE ………………2分
又∵ BE=DC …………………3分
∴△ADC≌△CBE …………4分
∴AC=CE ……………………5分
16、已知2x+y=0，求分式 
.(x+y)的值.
解：.(x+y)=
. (x+y)=
………………………2分
當 2x+y=0時 ，y=-2x， …………………………………4分
原式=
=
=-1
…………………………………5分
17、解：（1）設反比例函數解析式為y =
(k≠0)
把M（1，3）點代入y= 解得k=3
∴反比例函數解析式為y=
…………………………………2分
設一次函數解析式為y=kx＋2 (k≠0)
把M（1，3）點代入y=kx＋2 解得k=1
∴一次函數解析式為y=x＋2 ………………………………4分
（2）x的取值范圍是 0＜x＜ 1 …………………………5分
四、解答題（共2道小題，每小題5分，共10分）
18、 （1） AE⊥CF ………………………………1分
證明：連結AF
∵ AC=BC
又∵△ABC沿BC方向向右
平移BC長的距離
∴AC=CE=EF=AF …
∴ 四邊形ACEF是菱形 ………………………………2分
∴ AE⊥CF
（2）作AD⊥BC于D …………………………………3分
∵tan∠ACB=
設 AD=3K DC=4K
在Rt△ADC中 ,AC=10
∵ AD2+DC2=AC2
∴ K=2
∴ AD=6cm DC=8cm …………4分
∴ BD=2
在Rt△ADB中,根據勾股定理
∴ AB=2
cm …………………5分
19、 （1）證明：連結OC …………………1分
∵PD⊥AE于D
∴∠DCE＋∠E=900
∵ AB=AE , OB=OC
∴∠CBA=∠E=∠BCO
又∵∠DCE=∠PCB
∴∠BCO＋∠PCB=900
∴PD是⊙O的切線 ……………2分
（2）解：連結AC ………………3分
∵ AB=AE=5 AB是⊙O的直徑
BE=6
∴ AC⊥BE且EC=BC=3
∴ AC=4
又 ∵ ∠CBA=∠E ∠EDC=∠ACB=90°
∴△ EDC∽△BCA ………………4分
∴
=
即
=
∴ DC=
………………………………5分
五、解答題（本題滿分6分）
20、解：（1）本次調查的樣本是
所抽取的200名學生捐贈圖書的情況； …………………………1分
（2）人均捐贈圖書最多的是初二年級； …………………………2分
（3）200×35％×5=350（冊）；
答：初三年級學生共捐贈圖書350冊 . …………………………4分
（4）1000×35％×4.5＋1000×35％×5＋1000×30％×6=5125（冊）
答：估計全校共捐贈圖書5125冊. …………………………6分
六、解答題（共2道小題，第21題滿 分5分，第22題滿分4分）
21、（本題滿分5分）
解：設這列火車原來的速度為每小時x千米………1分
－
=
……………………………2分
12x=900
x=75 ………………………………3分
經檢驗 x=75 是原方程的解 ………………………4分
答：設這列火車原來的速度為每小時75千米.……5分
22、（本題滿分4分）
解：（1）b2－4ac=－12m＋9≥0
∴ m≤
………………………………1分
又 ∵ m2≠0
∴ m≤且m≠0
…………………………2分
（2）S=
＋
=
=2m－3
∴ m=
即 ≤
∴S≤－
…………………………3分
又 ∵ m≠0 即 ≠0
∴S≠－3
∴S≤－且S≠－3
……………………4分
七、解答題（共2道小題，每小題7分，共14分）
23、(1)解：在等邊△ABC中
作AD⊥BC于D，交EF于H
∴ BD=DC=
又∵ 
tan60°=
∴ AD=a ………1分
∵ EF∥BC
∽
∴ 
=
=
∴ AH=x ………………………………2分
∴ S△AEF=AH×EF
S△AEF=x2=
x2 ………………………………3分
(2) 解：①當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內或BC邊上時
y=x2 (0＜x≤a ）
…………………………4分
②當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A′處時，
A′F交BC于M， A′E交BC于N，連結AA′交EF于H，
交BC于D
∴ =
∴ 
=
又 ∵ AH= A′H
∴ 
=
∴ 
=
∴ 
=
2
………………………………5分
=
∴ S△A’MN=
∴ S四邊形MFEN=x2-
…………………………………6分
∴ y=-
(a＜x＜2a ） ……………………7分
24、解：（1）當x=0和x=4時，均有函數值y=3,
∴ 函數的對稱軸為x=2
∴頂點坐標為（2，-1）
即對應關系滿足y=（x-2）2-1,
∴ y=x2－4x＋3 ……………………………1分
∴當x=-1時，y=8;x=1時，y=0;x=3時，y=0
x
……
-1
0
1
2
3
4
……
x2+bx+c
……
8
3
0
-1
0
3
……
…………………………2分
（2） 解：函數圖像與x軸交于A（1，0）、B（3，0）；
與y軸交于點C（0，3）
設P點坐標為（x,0），則PB=3－x ………3分
∴S△BCP=(3－x)
∵PE∥AC
∴△BEP∽△BCA 作EF⊥OB于F……4分
∴
=
即
=
∴ EF=(3－x)
……………………………………5分
∴S△BPE=BP?EF=（3-x）2
∵S△PEC= S△BCP－S△BPE …………………………………………6分
∴S△PEC
=(3－x)－（3-x）2
S△PEC =－x2＋3x－
=－(x－2)2＋
∴當x=2時，y最大=
∴ P點坐標是（2，0） …………………………………7分
八、解答題（本題滿分8分）
25、（1） DE2=BD2+EC2 ……………………………………1分
證明：根據△AEC繞點A順時
針旋轉90°得到△ABE’
∴ △AEC≌△ABE’ ……………………2分
∴
BE’=EC, A E’=AE
∠C=∠AB E’ , ∠EAC=∠E’AB
在Rt△ABC中
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB=45°
∴ ∠ABC＋∠AB E’=90°
即 ∠E’BD=90° ………………………3分
∴ E’B2＋BD2= E’D2
又∵ ∠DAE=45°
∴ ∠BAD＋∠EAC=45°
∴ ∠E’AB＋∠BAD=45°
即 ∠E’AD=45°
∴ △A E’D≌△AED
∴ DE=D E’
∴ DE2=BD2+EC2 ……………………………4分
（2）關系式DE2=BD2+EC2仍然成立 ………5分
證明：將△ADB沿直線AD對折，
得△AFD，連FE
∴ △AFD≌△ABD ……………6分
∴AF=AB，FD=DB
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD
又∵AB=AC，∴AF=AC
∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45°
∠EAC=∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)= 45°＋∠DAB
∴ ∠FAE=∠EAC
又∵ AE=AE
∴△AFE≌△ACE
∴ FE=EC , ∠AFE=∠ACE=45°
∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135°
∴ ∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90° …………………7分
∴在Rt△DFE中
DF2＋FE2=DE2
即DE2=BD2+EC2 …………………………………………………8分
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