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問題：如圖（12），在菱形和菱形中，點在同一條直線上，是線段 的中點，連結．探究與的位置關系及的值．小聰同學的思路是：延長交于點，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．

請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：
小題1:若圖（12）中，寫出線段與的位置關系及的值，并說明理由；
小題2:將圖（12）中的菱形繞點順時針旋轉，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖13）．你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．
小題3:若圖（12）中，將菱形繞點順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）．
解：（1）線段與的位置關系是         ；        ．

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閱讀下面材料：
問題：如圖①，在△ABC中， D是BC邊上的一點，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長．
小明同學的解題思路是：利用軸對稱，把△ADC進行翻折，再經過推理、計算使問題
得到解決．
（1）請你回答：圖中BD的長為   ；
（2）參考小明的思路，探究并解答問題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長．
                                                                                  

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一、選擇題（本題共32分，每小題4分）

1-5. BCCBB  6-8. DCA

二、填空題（本題共18分，每小題3分）

題號

9

10

11

    12

答案

ab(a＋1)(a－1)

真

  A

  60°

13

2n－1

三、解答題（共5道小題，每小題5分，共25分）

13、計算：-2cos30°+()^-2-?1-?

解：原式=3－2×＋4 －（－1） ………………………4分

        = 3－＋4－＋1

        = ＋5                 ………………………………5分

14、求不等式組的整數解

解：由 x-2(x－1)≤3 

    得 x≥－1             ……………………………………………2分

    由 x＋1＞x

    得  x＜2               ……………………………………………4分

    ∴不等式的整數解為－1、0、1       ……………………………5分

15、證明：在等腰梯形ABCD中

          ∵ AB∥CD     AD=CB  ，

          ∴ ∠DAB=∠CBA    ……………1分

       又 ∵∠CDA＋∠DAB=180°

            ∠CBA＋∠CBE=180°

          ∴∠CDA=∠CBE   ………………2分 

        又∵ BE=DC      …………………3分

          ∴△ADC≌△CBE    …………4分

          ∴AC=CE    ……………………5分

16、已知2x+y=0，求分式 .(x+y)的值.

解：.(x+y)=. (x+y)=    ………………………2分

    當 2x+y=0時 ，y=-2x，             …………………………………4分

     原式===-1             …………………………………5分

17、解：（1）設反比例函數解析式為y =  (k≠0)

       把M（1，3）點代入y= 解得k=3

       ∴反比例函數解析式為y=       …………………………………2分

        設一次函數解析式為y=kx＋2 (k≠0)

        把M（1，3）點代入y=kx＋2 解得k=1

        ∴一次函數解析式為y=x＋2     ………………………………4分

     （2）x的取值范圍是  0＜x＜ 1           …………………………5分

四、解答題（共2道小題，每小題5分，共10分）

18、  （1）   AE⊥CF                   ………………………………1分

   證明：連結AF

         ∵ AC=BC  

      又∵△ABC沿BC方向向右                             

         平移BC長的距離

        ∴AC=CE=EF=AF  …

        ∴ 四邊形ACEF是菱形   ………………………………2分

        ∴ AE⊥CF

      （2）作AD⊥BC于D       …………………………………3分

         ∵tan∠ACB=

         設 AD=3K  DC=4K    

          在Rt△ADC中 ,AC=10

        ∵ AD²+DC²=AC²

          ∴   K=2

          ∴  AD=6cm  DC=8cm  …………4分

          ∴  BD=2

         在Rt△ADB中,根據勾股定理

          ∴ AB=2 cm  …………………5分                                                                      

19、 （1）證明：連結OC    …………………1分

           ∵PD⊥AE于D

           ∴∠DCE＋∠E=90⁰

           ∵ AB=AE  , OB=OC                    

            ∴∠CBA=∠E=∠BCO

          又∵∠DCE=∠PCB

            ∴∠BCO＋∠PCB=90⁰

            ∴PD是⊙O的切線  ……………2分

  （2）解：連結AC         ………………3分

     ∵ AB=AE=5  AB是⊙O的直徑

          BE=6

     ∴ AC⊥BE且EC=BC=3

     ∴ AC=4

     又 ∵ ∠CBA=∠E  ∠EDC=∠ACB=90^°

      ∴△ EDC∽△BCA         ………………4分

     ∴=

       即=

     ∴ DC=                           ………………………………5分

五、解答題（本題滿分6分）

20、解：（1）本次調查的樣本是

        所抽取的200名學生捐贈圖書的情況；  …………………………1分

   （2）人均捐贈圖書最多的是初二年級；   …………………………2分

        （3）200×35％×5=350（冊）；

        答：初三年級學生共捐贈圖書350冊 .    …………………………4分

   （4）1000×35％×4.5＋1000×35％×5＋1000×30％×6=5125（冊）

     答：估計全校共捐贈圖書5125冊.       …………………………6分

六、解答題（共2道小題，第21題滿 分5分，第22題滿分4分）

21、（本題滿分5分）

解：設這列火車原來的速度為每小時x千米………1分

          －=         ……………………………2分

                 12x=900   

                   x=75              ………………………………3分

經檢驗  x=75  是原方程的解      ………………………4分

答：設這列火車原來的速度為每小時75千米.……5分

22、（本題滿分4分）

解：（1）b²－4ac=－12m＋9≥0  

          ∴ m≤                    ………………………………1分

        又 ∵ m²≠0

         ∴ m≤且m≠0             …………………………2分

      （2）S=＋==2m－3

            ∴ m=   即 ≤

            ∴S≤－                  …………………………3分

            又 ∵ m≠0     即 ≠0

              ∴S≠－3

              ∴S≤－且S≠－3       ……………………4分

七、解答題（共2道小題，每小題7分，共14分）

23、(1)解：在等邊△ABC中

       作AD⊥BC于D，交EF于H      

       ∴  BD=DC=

        又∵  tan60°=

        ∴  AD=a    ………1分

        ∵  EF∥BC

        ∽

       ∴  =

             =

        ∴ AH=x                    ………………………………2分

        ∴  S_△AEF=AH×EF

               S_△AEF=x²=x²      ………………………………3分

 (2) 解：①當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內或BC邊上時

            y=x²   (0＜x≤a ）         …………………………4分

②當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A^′處時，

A′F交BC于M， A′E交BC于N，連結AA′交EF于H，

交BC于D

       ∴  =

        ∴  =                       

        又 ∵  AH= A′H

        ∴  =

        ∴  =

        ∴  =²           ………………………………5分

          =

       ∴ S_△A^’_MN=

       ∴ S_{四邊形MFEN}=x²-     …………………………………6分

       ∴ y=-   (a＜x＜2a ）  ……………………7分

24、解：（1）當x=0和x=4時，均有函數值y=3,

       ∴ 函數的對稱軸為x=2

       ∴頂點坐標為（2，-1）  

       即對應關系滿足y=（x-2）²-1,

        ∴ y=x²－4x＋3                      ……………………………1分

       ∴當x=-1時，y=8;x=1時，y=0;x=3時，y=0

x

……

 -1

0

1

2

3

4

……

x²+bx+c

……

  8

3

  0

-1

  0

3

……

…………………………2分

（2） 解：函數圖像與x軸交于A（1，0）、B（3，0）；

      與y軸交于點C（0，3）

      設P點坐標為（x,0），則PB=3－x ………3分

      ∴S_△BCP=(3－x)

      ∵PE∥AC  

      ∴△BEP∽△BCA   作EF⊥OB于F……4分

      ∴=    

      即=  

       ∴ EF=(3－x)          ……………………………………5分

       ∴S_△BPE=BP?EF=（3-x）²

       ∵S_△PEC= S_△BCP－S_△BPE     …………………………………………6分

      ∴S_△PEC =(3－x)－（3-x）²

                    S_△PEC   =－x²＋3x－=－(x－2)²＋

      ∴當x=2時，y_最大=

      ∴  P點坐標是（2，0）     …………………………………7分

八、解答題（本題滿分8分）

25、（1） DE²=BD²+EC²          ……………………………………1分

   證明：根據△AEC繞點A順時

       針旋轉90°得到△ABE^’            

     ∴  △AEC≌△ABE^’ ……………………2分

     ∴  BE^’=EC, A E^’=AE

       ∠C=∠AB E^’ , ∠EAC=∠E’AB

         在Rt△ABC中

     ∵  AB=AC

     ∴  ∠ABC=∠ACB=45°

     ∴  ∠ABC＋∠AB E^’=90°

即  ∠E’BD=90° ………………………3分

∴   E’B²＋BD²= E’D²

   又∵  ∠DAE=45°

     ∴  ∠BAD＋∠EAC=45°

     ∴  ∠E’AB＋∠BAD=45°

      即  ∠E’AD=45°

     ∴  △A E’D≌△AED

     ∴  DE=D E^’

     ∴  DE²=BD²+EC²  ……………………………4分

（2）關系式DE²=BD²+EC²仍然成立 ………5分

證明：將△ADB沿直線AD對折，

得△AFD，連FE

∴  △AFD≌△ABD     ……………6分                   

∴AF=AB，FD=DB

∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD

又∵AB=AC，∴AF=AC

∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45°

   ∠EAC=∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)= 45°＋∠DAB

∴ ∠FAE=∠EAC

又∵  AE=AE

∴△AFE≌△ACE

∴ FE=EC  , ∠AFE=∠ACE=45°

   ∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135°

∴  ∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90°   …………………7分

∴在Rt△DFE中

DF²＋FE²=DE²

即DE²=BD²+EC²    …………………………………………………8分