順義區2009年九年級第一次統練
數學試卷
考
生
須
知
１.試卷滿分120分，考試時間120分鐘.
２.考生需認真填寫答題紙密封線內的學校、姓名和準考證號.
３.考生要按規定的要求在答題紙上作答，題號要對應，答題前要認真審題，看清題目要求，按要求認真作答.
4.考試結束后，將答題紙由監考教師收回.
一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分）
1. 
的相反數是
A．
B．
C． 
D．
2. 下列四張撲克牌的牌面，不是中心對稱圖形的是
A. B. C. D.
3.已知: 如圖，直線
，點
在直線
上，且
，
，則
的度數為（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4. 下列運算正確的是
A．
B．
C．
D． 
5. 下列說法正確的是
A．“明天的降水概率為30%”是指明天下雨的可能性是
B．連續拋一枚硬幣50次，出現正面朝上的次數一定是25次
C．連續三次擲一顆骰子都出現了奇數，則第四次出現的數一定是偶數
D．某地發行一種福利彩票，中獎概率為1%，買這種彩票100張一定會中獎
6.把代數式
分解因式,下列結果中正確的是
A． 
B．
C．
D．
7. 拋物線
的頂點坐標是
A．( 1, －1) B．( 1, －2) C．(－1, －3) D．( 1, －3)
8. 如圖1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，動點P從B點出發，沿梯形的邊由B
C D A 運動，設點P運動的路程為x ,△ABP的面積為y , 如果關于x 的函數y的圖象如圖2所示 ，那么△ABC 的面積為
A．32 B．
二、填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）
9. 若分式
的值為零, 則
的值為
.
10. 一個布袋里裝有4個紅球、3個白球，每個球除顏色外均相同，從中任意摸出一個球，則摸出的球是紅球的概率是
.
11. 如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝
12. 已知某函數的圖象經過點A (1 , 2) ,且函數
的值隨自變量的值的增大而減小, 請你寫出一個符合條件的函數表達式
.
三、解答題（共5道小題，每小題5分，共25分）
13. 計算: 
14. 解不等式組 
, 并寫出不等式組的整數解.
15.已知反比例函數
的圖象與一次函數
的圖象交于
點A(－2, 3 ) 、B( 1 , 
) ，求反比例函數和一次函數的解析式.
16. 已知：如圖，點E為正方形ABCD的邊BC上一點，連結AE，過點D作DG⊥AE，垂足為G，延長DG交AB于點F.
求證：DF=AE.
17. 已知： 
，求代數式
的值.
四、解答題（共2道小題，每小題5分，共10分
18. 已知：如圖，在平面直角坐標系中，
為坐標原點，
，
為等腰梯形
底邊
上一點，
，
.
(1) 求等腰梯形OBCD的周長；
(2) 求點的坐標．
19. 已知：如圖，⊙O的直徑
=
是延長線上的一點，過點作⊙O的切線，切點為
，連接
．
(1) 若
，求陰影部分的面積；
(2)若點在的延長線上運動，
的平分線交于點，∠
的大小是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠的度數．
五、解答題（本題滿分6分）
20. 在學校組織的“我的家鄉知多少？”知識競賽中，每班參加比賽的人數相同，成績分為
四個等級，其中相應等級的得分依次記為100分，90分，80分，70分，學校將某年級的一班和二班的成績整理并繪制成如下的統計圖：
請你根據以上提供的信息解答下列問題：
（1）此次競賽中二班成績在級以上（包括級）的人數為
；
（2）請你將表格補充完整：
平均數（分）
中位數（分）
眾數（分）
一班
87.6
90
二班
87.6
100
（3）請從下列不同角度對這次競賽成績的結果進行分析：
①從平均數和中位數的角度來比較一班和二班的成績；
②從平均數和眾數的角度來比較一班和二班的成績；
③從
級以上（包括級）的人數的角度來比較一班和二班的成績．
六、解答題 （共2道小題，每小題5分，共10分）
21. 某商店用36000元購進甲、乙兩種商品，銷售完后共獲利6000元，其進價和售價如下表：
甲
乙
進價（元/件）
120
100
售價（元/件）
138
120
（1）該商店購進甲、乙兩種商品各多少件；
（2）商店第二次以原進價購進甲、乙兩種商品．購進乙種商品的件數不變，而購進甲種商品的件數是第一次的2倍，甲種商品按原售價出售，而乙種商品打折銷售．若兩種商品銷售完畢，要使第二次經營活動獲利不少于8160元，乙種商品最低售價為每件多少元？
22. 取一副三角板按圖①拼接，固定三角板
，將三角板
繞點
依順時針方向旋轉一個大小為
的角
得到
，如圖所示．
試問：（1）當為多少度時，能使得圖②中
？
（2）連結
，當
時，探尋
值的大小變化情況，并給出你的證明．
七、解答題（本題滿分7分）
23. 已知：關于的一元二次方程
．
（1）求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根
滿足
，求的值．
八、解答題（本題滿分7分）
24．已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線
經過A(2,0)，B(1,n) ，
C（0，2）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段BC的長；
（3）求
的度數．
九、解答題（本題滿分7分）
25. 已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結EC，取EC的中點M，連結DM和BM．
（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖①，探索BM、DM的關系并給予證明；
（2）如果將圖①中的△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角，如圖②，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．
順義區2009年九年級第一次統練
選擇題
1-5. CDCBA 6-8. BDC
填空題
9. －2 ; 10. 
; 11. 7 ; 12. 
（不唯一） .
解答題
13. 解：原式=
-------------------------------------------------------------4分
=
-----------------------------------------------------------------------------5分
14. 解： 不等式 
的解集是
-----------------------------------------1分
不等式 
的解集是
-------------------------------------------------2分
所以，此不等式組的解集是
---------------------------------------------4分
整數解為 ?2 ，?1 ， 0 ，1 . --------------------------------------------5分
15. 解: 由題意,得 
, ∴ 
∴ 反比例函數的解析式為
----------------------------------------------------2分
∵ 點
在反比例函數圖象上
∴ 
---------------------------------------------------------------------------------3分
又∵ 一次函數
的圖象過點
、
∴
-----------------------------------------------------------------------------4分
∴
所以一次函數的解析式為
-----------------------------5分
16. 證明：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°， DA=AB. ------------------------1分
∵DG⊥AE，
∴∠FDA +∠DAG=90°. --------------------------------------------------------------2分
又∵∠EAB+∠DAG=90°，
∴∠FDA =∠EAB. -----------------------------------------------------------------------3分
∴△DAF≌△ABE， ----------------------------------------------------------------------4分
∴DF=AE. ------------------------------------------------------------------------------5分
17. 解：
∵
∴
---------------------------------------------------------------------------------2分
∴
-----5分
18. 解：
（1）過點D作DE⊥OB于E，過點C作CF⊥OB于F.
∵四邊形OBCD是等腰梯形，OD=BC ,
∴ Rt△ODE≌Rt△BCF ,四邊形CDEF是矩形.
∴ OE=BF , DC=EF .----------------------------------------------------------------------------1分
∵ OD=BC=2, OB=5, ∠BOD=60°,
∴ OE=BF=1 , DC=EF=3.
∴ 梯形OBCD的周長是12 --------------------------------------------------------------------2分
(2) 設點M的坐標為
,聯結DM和CM.
∵ ∠BOD=∠COD=∠OBC=60°
∴ ∠ODM+∠OMD=∠BMC+∠OMD=120°
∴ ∠ODM=∠BMC --------------------------------------------------------------------------------3分
∵ △OMD∽△BCM
∴ 
∴ 
--------------------------------------------------------------------------------------4分
∴ 
∴ 點M的坐標為(1, 0) 或(4,0) ----------------------------------------------------------------5分
19. 解：(1) 聯結OC. ∵ PC為⊙O的切線 ,
∴ PC⊥OC .
∴ ∠PCO=90°. ----------------------------------------------------------------------1分
∵ ∠ACP=120°
∴ ∠ACO=30°
∵ OC=OA ,
∴ ∠A=∠ACO=30°.
∴ ∠BOC=60°--------------------------------------------------------------------------2分
∵ OC=4
∴ 
∴ 
-------------------------------------------3分
(2) ∠CMP的大小不變，∠CMP=45° --------------------------------------------------4分
由（1）知 ∠BOC+∠OPC=90°
∵ PM平分∠APC
∴ ∠APM=
∠APC
∵ ∠A=∠BOC
∴ ∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)= 45°---------------------------5分
20. 解：（1）21 -------------------------------------- 1分
（2）一班眾數為90，二班中位數為80?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（3）①從平均數的角度看兩班成績一樣，從中位數的角度看一班比二班的成績好，所以一班成績好； 4分
②從平均數的角度看兩班成績一樣，從眾數的角度看二班比一班的成績好，所以二班成績好； 5分
③從
級以上（包括級）的人數的角度看，一班人數是18人，二班人數是12人，所以一班成績好． 6分
21.解：（1）設購進甲種商品
件，乙種商品
件．
根據題意，得
-------------------------------------------2分
化簡，得
解之，得
答：該商場購進甲、乙兩種商品分別為200件和120件． ------------------------------------3分
（2）甲商品購進400件，獲利為
（元）．
從而乙商品售完獲利應不少于
（元）．
設乙商品每件售價為元，則
．--------------------------------------------4分
解得
．所以，乙種商品最低售價為每件108元．------------------------------------5分
22.（1）由題意
，
要使
，須
，
．
，
即
時，能使得．------------------------------------------------------------2分
(2）
的值的大小沒有變化, 總是105°.-------------------3分
當
時，總有
存在．
，
又
，
．
又
，
．------------------------------------------------------5分
23. 解：（1）
---------------------------------------------1分
---------------------------------------------------------------------------------2分
不論
取何值，方程總有兩個不相等實數根 -------------------------------------------3分
（2）由原方程可得
∴ 
--------------------------------------------------------------4分
∴ 
---------------------------------------------------------------------------------5分
又∵ 
∴ 
∴ 
---------------------------------------------------------------------------------6分
經檢驗：符合題意．
∴ 的值為4． ----------------------------------------------------------------------7分
24. 解：（1）∵拋物線
經過點A(2,0)， C（0，2），
∴
解得 
∴拋物線解析式為
---------------------2分
（2）
∵點B(1,n)
在拋物線上
∴ 
-----------------------------------3分
過點B作BD⊥y軸，垂足為D.
∴BD=1 , CD=
∴ BC=2 --------------------------------------------4分
（3） 聯結OB.
在Rt△BCD中, BD=1 ,BC=2 ,
∴∠BCD=30° ----------------------------------------5分
∵ OC=BC
∴∠BOC=∠OBC
∵∠BCD=∠BOC+∠OBC
∴∠BOC=15°
∴∠BOA=75°------------------------------------------6分
過點B作BE⊥OA , 垂足為E，則OE=AE.
∴OB=AB
∴∠OAB=∠BOA=75°.-------------------------------7分
25.（1）BM=DM ，BM⊥DM --------------------------------------------------------1分
證明：在Rt△EBC中，M是斜邊EC的中點，
∴ 
．
∴ ∠EMB=2∠ECB．
在Rt△EDC中，M是斜邊EC的中點，
∴ 
．
∴ ∠EMD=2∠ECD．-------------------2分
∴ BM=DM，∠EMD＋∠EMB =2（∠ECD＋ECB）．
∵ ∠ECD＋∠ECB=∠ACB=45°，
∴ ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM． -------------------------------3分
（2）當△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角時， （1）中的結論成立．
證明：
連結BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連結BF、FC，延長ED交AC于點H．
-------------------------------------4分
∵ DM=MF，EM=MC，
∴ 四邊形
是平行四邊形.
∴ DE∥CF ，ED =CF，
∵ ED= AD,
∴ AD=CF.
∵ DE∥CF，----------------------------------------5分
∴ ∠AHE=∠ACF．
∵ 
,
，
∴ ∠BAD=∠BCF. --------------------------------------------------6分
又∵AB= BC,
∴ △ABD≌△CBF.
∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF.
∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC =90°.
在Rt△
中，由
,
，得BM=DM且BM⊥DM． -------7分
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