Question

某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來(lái)研究碰撞問(wèn)題，其模型如右圖所示。用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3…….N，球的質(zhì)量依次遞減，每個(gè)球的質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k＜1)。將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無(wú)機(jī)械能損失的正碰。(不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長(zhǎng)，g取10 m/s²)

（1）設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為v_n，求n+1號(hào)球碰撞后的速度。

（2）若N=5，在1號(hào)球向左拉高h的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16h（16h小于繩長(zhǎng)），問(wèn)k值為多少？

（3）在第（2）問(wèn)的條件下，懸掛哪個(gè)球的繩最容易斷，為什么？

Answer 1

解析：（1）設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m_n，n+1號(hào)球質(zhì)量為m_n+1，碰撞后的速度分別為v _n′、v_n+1′，取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為v_n、0，且

m_n+1=km_n      （1分）

根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有

m_nv_n=m_nv_n′n+km_nv _n+1′        ① （1分）

根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

m_nv_n²=m_nv _n′²+km_nv _n+1′²           ②   （1分）

由①②得

v _n+1′=(v _n+1′=0舍去)    （1分）

（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律有

m₁gh=m₁v₁²       ④   （1分）

解得

v₁=    ⑤  （1分）

同理可求5號(hào)球碰后瞬間的速度

v₅=  ⑥（1分）

設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為v_n+1

據(jù)題意有v_n+1=v _n+1′

v_n+1=ⁿv₁       ⑦      （1分）

N=n+1=5時(shí)，

v₅=（）⁴v₁   ⑧     （1分）

由⑤⑥⑧三式得

k=-1≈0.414(k=--1舍去)  ⑨  （1分）

（3）設(shè)繩長(zhǎng)為l，每個(gè)球在最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)球的拉力為F，由牛頓第二定律有

F-m_ng=m_n    ⑩   

則

F=m_ng+m_n 或 F= m_ng+E_kn  （2分）

式中E_kn為n號(hào)球在最低點(diǎn)的動(dòng)能

由題意可知1號(hào)球的重力最大，又由機(jī)械能守恒定律可知1號(hào)球在最低點(diǎn)碰前的動(dòng)能也最大，根據(jù)式可判斷在1號(hào)球碰撞前瞬間懸掛1號(hào)球細(xì)繩的張力最大，（1分）

故懸掛1號(hào)球的繩最容易斷。   （2分）

 （本問(wèn)只定性說(shuō)明未列出表達(dá)式扣2分，無(wú)說(shuō)明只給出結(jié)果的扣3分）