Question

某興趣小組設計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如圖所示不用完全相同的輕繩將N個大小相同、質量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1、2、3…N，球的質量依次遞減，每球質量與其相鄰左球質量之比為k（k＜1）．將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞…所有碰撞皆為無機械能損失的正碰．（不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10m/s²）
（1）設與n+1號球碰撞前，n號球的速度為v_n，求n+1號球碰撞后的速度．
（2）若N=5，在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16k（16h小于繩長）問k值為多少？

Answer 1

分析：（1）用動量守恒和機械能守恒分析該碰撞過程，解方程組即可．
（2）根據題意前后兩個小球碰撞后后一個小球的速度與兩球的質量有關系，即V′n+1=

2Vn

k+1

，我們利用不完全歸納法得到：如果知道V₁，那么，Vn+1=(

2

1+k

)nv1，于是第5號球的速度可求，那么，5號球上升的高用機械能守恒可以解決．

解答：解：（1）本題中的兩球相碰，均可看成是“一靜一動彈性碰撞模型”．因為每個球的質量依次遞減，碰后不會出現入射球反彈的情況．如果入射球質量為m₁，被碰球質量為m₂，碰前m₁的速度為v₁，碰后兩球的速度分別為v₁′、v₂′由動量守恒定律和機械能守恒定律得：
m v₁=m₁v₁′+m₂v₂′

1

2

mV12=

1

2

mV′12+

1

2

mV′22
得：V′1=

m1-m2

m1+m2

V1     V′2=

2 m1

m1+m2

V1  
本題主要應用v₂′當n取代1時，n+1就取代2．
設n號球質量為m，與n+1號球碰撞后的速度分別為v_n′、v_n+1′取水平向右為正方向，據題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為v_n、0、m_n+1=km_n 
根據動量守恒，有m_nV_n=m_nV′_n+km_nV′_n+1…①
根據機械能守恒，有

1

2

mnVn2=

1

2

mnV′n2+

1

2

kmnV′n+12…②
由①②得：V′n+1=

2Vn

k+1

(V′n+1=0舍去)…③
（2）設1號球擺至最低點時的速度為v₁，由機械能守恒定律有：
m1gh=

1

2

m1V12…④
v₁=

2gh

…⑤
同理可求，5號球碰后瞬間的速度
V5=

2g×16k

…⑥
由③式可得Vn+1= (

2

1+k

)nv1…⑦
N=n=5時，v₅=(

2

1+k

)5V1…⑧
由⑤⑥⑧三式得：
k=

2

-1=0.414…⑨
答：（1）n+1號球碰撞后的速度V′n+1=

2Vn

k+1

（2）k值為0.414

點評：本題是利用動量守恒和機械能守恒聯合解決一維碰撞問題的典型例子，其中由1號球的速度歸納第n+1號球的速度是關鍵，而且也是難點．