Question

如圖是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”示意圖，電動機帶動兩個滾輪勻速轉動將夯桿從深坑提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，將夯桿釋放，夯桿在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底。然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿被提上來，如此周而復始（夯桿被滾輪提升過程中，分別經歷勻加速和勻速運動過程）。已知兩個滾輪邊緣的線速度恒為v＝4m／s，滾輪對夯桿的正壓力F_N＝2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ＝0.3，夯桿質量m＝1×10³kg，坑深h＝6.4m，假定在打夯的過程中坑的深度變化不大，g取10m／s²。求：

   （1）夯桿被滾輪帶動勻加速上升過程所需的時間；

   （2）每個打夯周期中，電動機需消耗的能量。

Answer 1

（1）2s （2）1.2×10⁵J

解析:

（1）夯桿加速上升階段：

加速度    ①---------4分

a = 2 m / s²  ②---------------2分

則夯桿勻加速上升的時間  ③-------2分

   （2）夯桿加速上升的高度      ④-------2分

在加速上升階段，電動機對夯桿做的功   W₁=2μF_N h₁ = 4.8×10⁴ J  ⑤-------2分

夯桿勻速上升階段上升高度   h₂ = h－h₁ = 2.4 m 

電動機對夯桿做的功   W₂ = mgh₂ = 2.4×10⁴J   ⑥-------2分

夯桿加速上升階段，電動機滾輪與夯桿間摩擦生熱Q=2μF_N h₁ = 4.8×10⁴ J-⑦------2分

每個打夯周期中，電動機需消耗的能量 E = W₁+ W₂+Q = 1.2×10⁵J  ⑧-------2分

〔或每個打夯周期中，電動機需消耗的能量 E ==2μF_NVt₁+mg Vt₂=1.2×10⁵J 〕