Question

如圖是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”示意圖，電動機帶動兩個滾輪勻速轉動將夯桿從深坑提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，夯桿在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底．然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿被提上來，如此周而復始．已知兩個滾輪邊緣的線速度恒為v=4m/s，滾輪對夯桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數為0.3，夯桿質量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的過程中坑的深度變化不大，取g=10m/s²．求：
（1）在每個打夯周期中，電動機對夯桿所做的功；
（2）每個打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產生的熱量；
（3）打夯周期．

Answer 1

分析：（1）夯桿底端剛到達坑口的運動過程中，先做勻加速直線運動，當速度達到滾輪的線速度時，做勻速直線運動，夯桿先受到滑動摩擦力，然后受靜摩擦力，電動機對夯桿所做的功等于摩擦力做的功．
（2）求出在每個周期內滾輪與夯桿間的相對位移，從而根據Q=fs_相對求出因摩擦產生的熱量．
（3）夯桿的運動過程包括：勻加速上升、勻速上升、勻減速上升再落回到坑底．求出整個過程的時間，即為打夯周期．

解答：解：（1）夯桿所受的滑動摩擦力F₁=2μF_N
根據牛頓第二定律得，F₁-mg=ma
夯桿勻加速運動的位移s1=

v2

2a

夯桿勻速運動的位移s₂=h-s₁
勻速運動的過程中，夯桿受靜摩擦力，F₂=mg
所以電動機對夯桿所做的功W=F₁s₁+F₂（h-s₁）=7.2×10⁴J．
故電動機對夯桿所做的功為7.2×10⁴J．
（2）夯桿與滾輪之間的相對位移為△s=vt-

v2

2a

   t=

v

a

解得△s=

v2

2a

所以Q=2μF_N△s=4.8×10⁴J．
故每個打夯周期中滾輪與夯桿間因摩擦產生的熱量為4.8×10⁴J．
（3）夯桿的運動過程包括：勻加速上升、勻速上升、勻減速上升再落回到坑底．
勻加速運動的時間t1=

v

a

=2s
勻速運動的時間t2=

h-s1

v

=0.6s
勻減速上升再落回坑底過程有：規定向上為正方向，h=vt3+

1

2

at32-6.4=4t3-

1

2

×10t32
解得t₃=1.6s
所以周期T=t₁+t₂+t₃=4.2s
故打夯周期為4.2s．

點評：解決本題的關鍵理清夯桿的運動過程，知道夯桿在一個周期內先做勻加速上升，再做勻速上升，最后勻減速上升到零，做自由落體到坑底．