Question

【題目】如圖所示，在水平線ab的下方有一勻強電場，電場強度為E，方向豎直向下，ab的上方存在勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，磁場中有一內、外半徑分別為R、的半圓環形區域，外圓與ab的交點分別為M、N。一質量為m、電荷量為q的帶負電粒子在電場中P點靜止釋放，由M進入磁場，從N射出，不計粒子重力。學科.網

（1）求粒子從P到M所用的時間t；

（2）若粒子從與P同一水平線上的Q點水平射出，同樣能由M進入磁場，從N射出，粒子從M到N的過程中，始終在環形區域中運動，且所用的時間最少，求粒子在Q時速度的大小。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：粒子在磁場中以洛倫茲力為向心力做圓周運動，在電場中做初速度為零的勻加速直線運動，據此分析運動時間；粒子進入勻強磁場后做勻速圓周運動，當軌跡與內圓相切時，所有的時間最短，粒子從Q射出后在電場中做類平拋運動，在電場方向上的分運動和從P釋放后的運動情況相同，所以粒子進入磁場時沿豎直方向的速度同樣為v，結合幾何知識求解．

（1）設粒子在磁場中運動的速度大小為v，所受洛倫茲力提供向心力，有①

設粒子在電場中運動所受電場力為F，有F=qE②；

設粒子在電場中運動的加速度為a，根據牛頓第二定律有F=ma③；

粒子在電場中做初速度為零的勻加速直線運動，有v=at④；聯立①②③④式得⑤；

（2）粒子進入勻強磁場后做勻速圓周運動，其周期與速度、半徑無關，運動時間只由粒子所通過的圓弧所對的圓心角的大小決定，故當軌跡與內圓相切時，所有的時間最短，設粒子在磁場中的軌跡半徑為，由幾何關系可得⑥

設粒子進入磁場時速度方向與ab的夾角為θ，即圓弧所對圓心角的一半，由幾何關系知⑦；

粒子從Q射出后在電場中做類平拋運動，在電場方向上的分運動和從P釋放后的運動情況相同，所以粒子進入磁場時沿豎直方向的速度同樣為v，在垂直于電場方向的分速度等于為，由運動的合成和分解可得⑧

聯立①⑥⑦⑧式得⑨．