Question

【題目】麥克斯韋的電磁場理論告訴我們：變化的磁場產生感生電場，該感生電場是渦旋電場；變化的電場也可以產生感生磁場，該感生磁場是渦旋磁場。

（1）如圖所示，在半徑為r的虛線邊界內有一垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間的變化關系為B=kt（k>0且為常量）。將一半徑也為r的細金屬圓環（圖中未畫出）與虛線邊界同心放置。

①求金屬圓環內產生的感生電動勢的大小。

②變化的磁場產生的渦旋電場存在于磁場內外的廣闊空間中，在與磁場垂直的平面內其電場線是一系列同心圓，如圖中的實線所示，圓心與磁場區域的中心重合。在同一圓周上，渦旋電場的電場強度大小處處相等。使得金屬圓環內產生感生電動勢的非靜電力是渦旋電場對自由電荷的作用力，這個力稱為渦旋電場力，其與電場強度的關系和靜電力與電場強度的關系相同。請推導金屬圓環位置的渦旋電場的場強大小E感。

（2）如圖所示，在半徑為r的虛線邊界內有一垂直于紙面向里的勻強電場，電場強度大小隨時間的變化關系為E=ρt（ρ>0且為常量）。

①我們把穿過某個面的磁感線條數稱為穿過此面的磁通量，同樣地，我們可以把穿過某個面的電場線條數稱為穿過此面的電通量。電場強度發生變化時，對應面積內的電通量也會發生變化，該變化的電場必然會產生磁場。小明同學猜想求解該磁場的磁感應強度B感的方法可以類比（1）中求解E感的方法。若小明同學的猜想成立，請推導B感在距離電場中心為a（a<r）處的表達式，并求出在距離電場中心和2r處的磁感應強度的比值B感1：B感2。

②小紅同學對上問通過類比得到的B感的表達式提出質疑，請你用學過的知識判斷B感的表達式是否正確，并給出合理的理由。

Answer 1

【答案】（1）① ② ；（2）①1:1②不正確.

【解析】

（1）①根據法拉第電磁感應定律求解金屬圓環內產生的感生電動勢ε的大小。②在金屬圓環內，求解非靜電力對帶電量為-q的自由電荷所做的功，求解電動勢，從而求解感應電場強度；（2）①類比（1）中求解E感的過程求解 兩處的磁感應強度的比值；②通過量綱分析表達式的正誤.

（1）①根據法拉第電磁感應定律得

②在金屬圓環內，非靜電力對帶電量為-q的自由電荷所做的功W非=qE感·2πr

根據電動勢的定義

解得感生電場的場強大小

（2）①類比（1）中求解E感的過程，在半徑為R處的磁感應強度為

在R=a時，，解得

在R=時， ，解得

將R=2r時， ，解得

所以

② 上問中通過類比得到的B感的表達式不正確；

因為通過量綱分析我們知道：用基本物理量的國際單位表示的導出單位為 ；又因為，用基本物理量的國際單位表示的導出單位為。可見，通過類比得到的B感的單位是不正確的，所以的表達式不正確。