Question

【題目】如圖所示，半徑為R的四分之一光滑圓形固定軌道右端連接一光滑的水平面，質量為M=3m的小球Q連接著輕質彈簧靜止在水平面上，現有一質量為m的滑塊P（可看成質點）從B點正上方h=R高處由靜止釋放，重力加速度為g．求：

（1）滑塊到達圓形軌道最低點C時的速度大小和對軌道的壓力；
（2）在滑塊壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能；
（3）若滑塊從B上方高H處釋放，恰好使滑塊經彈簧反彈后能夠回到B點，則高度H的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：滑塊P從A運動到C過程，根據機械能守恒得

mg（h+R）=

又h=R，代入解得 vC=2

在最低點C處，對滑塊，根據牛頓第二定律有：FN﹣mg=m

解得軌道對滑塊P的支持力 FN=5mg

根據牛頓第三定律知滑塊P對軌道的壓力大小為5mg，方向豎直向下．

答：滑塊到達圓形軌道最低點C時的速度大小是2 ，對軌道的壓力大小為5mg，方向豎直向下．

（2）彈簧被壓縮過程中，當兩球速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，根據系統動量守恒有：mvC=（m+M）v

根據機械能守恒定律有 =EPm+

聯立解得 EPm= mgR

答：在滑塊壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能是 mgR．

（3）滑塊P從B上方高h處釋放，到達水平面速度為v0，則有

mg（H+R）= mv02．

彈簧被壓縮后再次恢復到原長時，設滑塊P和Q的速度大小分別為v1和v2，根據動量守恒有：mv0=﹣mv1+Mv2

根據機械能守恒有 mv02= mv12+ Mv22

要使滑塊P經彈簧反彈后恰好回到B點，則有 mgR= mv12

聯立解得 H=3R

答：高度H的大小是3R．

【解析】（1）滑塊P從A運動到C的過程，根據機械能守恒求解到達C點時的速度．在最低點C處，做勻速圓周運動的物體合力提供向心力，求軌道對滑塊的支持力，結合牛頓第三定律求解滑塊對軌道的壓力；
（2）彈簧被壓縮過程中，可以利用追擊相遇模型當滑塊小球距離最小時，滑塊和小球速度相等，彈簧具有最大彈性勢能，以向右為正，根據系統動量守恒結合機械能守恒定律列式求解；
（3）滑塊P從B上方高h處釋放，根據動能定理求出到達水平面的速度，彈簧被壓縮后再次恢復到原長得過程中，根據動量守恒定律以及機械能守恒定律列式，P球經彈簧反彈后恰好回到B點得過程中，根據動能定理列式，聯立方程求解．