Question

（2012?邯鄲一模）如圖所示，兩電阻不計的足夠長光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角為θ，導(dǎo)軌間距為l，所在平面的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于斜面向上．如圖所示，將甲、乙兩阻值相同，質(zhì)量均為m的相同金屬桿放置在導(dǎo)軌上，甲金屬桿處在磁場的上邊界，甲、乙相距l(xiāng)．從靜止釋放兩金屬桿的同時，在金屬桿甲上施加一個沿著導(dǎo)軌的外力，使甲金屬桿在運動過程中始終沿導(dǎo)軌向下做勻加速直線運動，且加速度大小以a=gsinθ，乙金屬桿剛進(jìn)入磁場時做勻速運動．
（1）求每根金屬桿的電阻R為多少？
（2）從剛釋放金屬桿時開始計時，寫出從計時開始到甲金屬桿離開磁場的過程中外力F隨時間t的變化關(guān)系式，并說明F的方向．
（3）若從開始釋放兩桿到乙金屬桿離開磁場，乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q，試求此過程中外力F對甲做的功．

Answer 1

分析：（1）甲、乙勻加速運動時加速度相同，當(dāng)乙通過位移l進(jìn)入磁場時，甲剛出磁場，由運動學(xué)速度位移公式求出乙進(jìn)入磁場時的速度，乙金屬桿剛進(jìn)入磁場時做勻速運動，根據(jù)平衡條件求解電阻R．
（2）從剛釋放金屬桿時開始計時，由于甲的加速度大小a=gsinθ，外力與安培力大小相等，由速度公式得出速度與時間的關(guān)系式，根據(jù)安培力的表達(dá)式得出外力與時間的關(guān)系式．
（3）從開始釋放兩桿到乙金屬桿離開磁場，乙進(jìn)入磁場前，甲、乙發(fā)出相同熱量，導(dǎo)體棒克服安培力做功等于回路產(chǎn)生的熱量．甲出磁場以后，外力F為零，乙在磁場中，安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，甲、乙發(fā)出相同熱量，根據(jù)功能關(guān)系得出回路產(chǎn)生的熱量，根據(jù)總熱量等于Q，求出外力做功．

解答：解：（1）由題，甲、乙勻加速運動時加速度相同，所以，當(dāng)乙進(jìn)入磁場時，甲剛出磁場
乙進(jìn)入磁場時的速度v=

2glsinθ

根據(jù)平衡條件有mgsinθ=

B2l2v

2R

解得：R=

B2l2 2glsinθ

2mgsinθ

（2）甲在磁場中運動時，外力F始終等于安培力F=

B2l2v

2R

，v=gsinθ?t
將R=

B2l2 2glsinθ

2mgsinθ

代入得：F=

mg2sin2θ

2glsinθ

t，方向沿導(dǎo)軌向下
（3）乙進(jìn)入磁場前，甲、乙發(fā)出相同熱量，設(shè)為Q₁，則有
  F_安l=2Q₁
  又F=F_安
故外力F對甲做的功W_F=Fl=2Q₁
甲出磁場以后，外力F為零，乙在磁場中，甲、乙發(fā)出相同熱量，設(shè)為Q₂，則有
F_安′l=2Q₂
又F_安′=mgsinθ
又Q=Q₁+Q₂
解得：W_F=2Q-mglsinθ
答：
（1）每根金屬桿的電阻R=

B2l2 2glsinθ

2mgsinθ

．
（2）從剛釋放金屬桿時開始計時，從計時開始到甲金屬桿離開磁場的過程中外力F隨時間t的變化關(guān)系式為F=

mg2sin2θ

2glsinθ

t，方向沿導(dǎo)軌向下．
（3）從開始釋放兩桿到乙金屬桿離開磁場，乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q，此過程中外力F對甲做的功為2Q-mglsinθ．

點評：本題審題時緊扣導(dǎo)體棒切割磁感線時加速度為a=gsinθ，外力與安培力大小相等，外力F對甲做的功等于導(dǎo)體棒克服安培力做功．