Question

過山車是游樂場中常見的設施．如圖17所示是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個質量為m=1.0kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，計算結果保留小數點后一位數字．試求：
（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑R₃應滿足的條件和小球最終停留點與起點間的距離．

Answer 1

（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當時， ；當時，

試題分析：（1）（4分）設小于經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁根據動能定理
                   ①
小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據牛頓第二定律
                                    ②
由①②得                                                      ③
（2）（4分）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，由題意
                                       ④
              ⑤
由④⑤得                                                   ⑥
（3）（4分）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：
I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v₃，應滿足
                                    ⑦
              ⑧
由⑥⑦⑧得           
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₃，根據動能定理

解得                  
為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應滿足

解得               R₃=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或
當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L′，則


當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L〞，則

點評：選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優點在于適用任何運動包括曲線運動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．