Question

如圖所示，abcd構成一個邊長為L的正方形區域，在ac連線的右下方存在場強大小為E、方向垂直于ad向上的勻強電場，在?abc區域內(含邊界)存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，在?abc區域外、ac連線的左上方存在方向垂直于紙面向外的勻強磁場，兩磁場區域的磁感應強度大小相等.現有兩個可視為質點、質量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子同時從a點射出，粒子甲的初速度方向由a指向d，粒子乙的初速度方向由a指向c，當乙經b到達c點時，剛好與只在電場中運動的甲相遇.若空間為真空，不計粒子重力和粒子間的相互作用力，忽略粒子運動對電、磁場產生的影響。求：

（1）甲的速率v_甲和甲從a到c經歷的時間t。
（2）乙的速率v_乙和磁感應強度大小B滿足的條件。

Answer 1

（1）     （2）  

試題分析：(1)甲在電場中做類平拋運動，由牛頓定律有 a_y=qE/m            (1分)
由運動規律有               (1分)
           (1分)
聯立三式解得                 (1分)
          (1分)
(2)設乙在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為R，周期為T
由牛頓定律有              (1分)

根據運動的對稱性，乙由a經b到達c點的運動軌跡如圖所示，其中x是每段圓弧軌跡對應的弦線長，設n為由a至b對應的圓弧段數                         (1分)
由幾何關系有              (2分)
解法一:
當n為奇數時，所有弧長對應的圓心角總和為
               (1分)
由a經b到達c點的總時間為                 (1分)
    (1分)              (1分)
當n為偶數時，所有弧長對應的圓心角總和為             (1分)
由a經b到達c點的總時間為                 (1分)
   (1分)              (1分)
解法二:
當n為奇數時，所有弧長的總長為                    (1分)
           (1分)
                      (2分)
當n為偶數時，所有弧長的總長為                      (1分)
      (1分)       (2分)