Question

如圖所示，質量為m、長為L的均勻細桿OA，一端通過光滑鉸鏈固定在地面O處，在細桿中點B處系一根細繩，細繩繞過兩個光滑定滑輪后懸掛著物體D，物體D的質量為細桿質量的1/3，D離滑輪距離足夠遠．在外力F的作用下使細桿與地面保持夾角θ為60°，此時細繩CB與桿的夾角也為60°（如圖所示）．已知細桿繞O點轉動的動能表達式為Ek=

1

6

mL2ω2，m表示桿的質量，L表示桿的長度，ω表示桿轉動的角速度．求：
（1）外力F的最小值．
（2）撤去外力F后，細桿從圖示位置到繞O點罷到地面前的過程中，系統（指細桿和物體D）重力勢能的變化量．
（3）撤去外力F后，細桿繞O點轉到地面的瞬間，物體D的速度大小．

Answer 1

（1）要使F最小，F必須作用于A點，且方向垂直于桿斜向上．如圖．
根據力矩平衡條件得：FL+T

L

2

sin60°=mgcos60°
又T=

1

3

mg
代入解得 F=

3- 3

12

mg=0.11mg
（2）撤去外力F后，細桿從圖示位置到繞O點罷到地面前的過程中，物體D的重力勢能增大，桿的重力勢能減小，
由圖可知，細桿重心下降了

3

4

L，物體D上升了

L

2

則△E_P=

1

3

mg?

L

2

-mg

3

4

L=

2-3 3

12

mgL=-0.27mgL
即系統的重力勢能減小了0.27mgL．
（3）設細桿著時角速度為ω，B點著地時速度為v_B，物體D的速度為v_D，則
v_B=ω?

L

2

v_D=v_Bsinθ
根據系統機械能守恒得

1

6

mL2ω2+

1

2

×

1

3

m

v

2D

=-△E_P
代入解得v_D=0.5

gL

答：（1）外力F的最小值為0.11mg．
（2）撤去外力F后，細桿從圖示位置到繞O點罷到地面前的過程中，系統重力勢能的變化量為-0.27mgL．
（3）撤去外力F后，細桿繞O點轉到地面的瞬間，物體D的速度大小為v_D=0.5

gL

．