Question

如圖所示，豎直平面內有光滑且不計電阻的兩道金屬導軌，寬都為L，上方安裝有一個阻值R的定值電阻．兩根質量都為m，電阻都為r，完全相同的金屬桿靠在導軌上，金屬桿與導軌等寬且與導軌接觸良好，虛線下方的區域內存在勻強磁場，磁感應強度B．
（1）將金屬桿1固定在磁場邊界下側．金屬桿2從磁場邊界上方靜止釋放，進入磁場后恰作勻速運動，求金屬桿2釋放處離開磁場邊界的距離h₀．
（2）將金屬桿1固定在磁場邊界下側．金屬桿2從磁場邊界上方h（h＜h₀）高處靜止釋放，經過一段時間后再次勻速，此過程流過電阻R的電量為q，則此過程整個回路中產生了多少熱量？
（3）金屬桿2從離開磁場邊界h（h＜h₀）高處靜止釋放，在進入磁場的同時靜止釋放金屬桿1，兩金屬桿運動了一段時間后都開始了勻速運動，試求出桿2勻速時的速度是多少？并定性畫出兩桿在磁場中運動的v-t圖象（兩個電動勢分別為ε₁、ε₂不同的電源串聯時，電路中總的電動勢ε=ε₁+ε₂）．

Answer 1

分析：（1）金屬桿2在沒進入磁場時，機械能守恒，據此求出金屬棒2進入磁場時的速度，由于進入磁場時勻速運動，因此安培力等于重力，據此可解得結果．
（2）當金屬棒2從小于h₀處下落時，進入磁場時，先做加速度逐漸減小的加速運動，然后勻速運動，根據流過導體電量求出導體棒2在磁場中下落的距離，然后根據功能關系求解回路中產生的熱量．
（3）對兩棒受力分析，根據牛頓第二定律列出方程，可以判斷出兩棒的運動情況相同，只是初速度不同，寫出速度表達式即可進一步得出速度-時間圖象．

解答：解：（1）勻速時：mg=FA=

B2L2v

R+2r

           ①
磁場外下落過程，根據機械能守恒有：mgh0=

1

2

mv2     ②
得：h0=

m2g(R+2r)2

2B4L4

故金屬桿2釋放處離開磁場邊界的距離h0=

m2g(R+2r)2

2B4L4

．
（2）設流過電量q的過程中，金屬桿1在磁場中下落H過程中有：
q=It=

△Φ

tR

t=

△Φ

R+2r

=

BLH

R+2r

  ③
由動能定理得：
mg(h+H)-Q總= 

1

2

mv2-0     ④
由①③④得：Q總= mgh+

mgq(R+2r)

BL

-

m3g2(R+2r)2

2B4L4

故該過程整個回路中產生熱量為：Q總= mgh+

mgq(R+2r)

BL

-

m3g2(R+2r)2

2B4L4

．
（3）因為h＜h₀，所以金屬桿1進入磁場后先加速，加速度向下
由于兩金屬桿流過電流相同，所以F_A相同
對金屬桿1有mg-F_A=ma₁
對金屬桿2有mg-F_A=ma₂
發現表達式相同，所以兩金屬桿加速度a₁和a₂始終相同，兩金屬桿速度差值也始終相同
設勻速時速度分別為v₁、v₂，有
v2-v1=

2gh

-0    ⑤
又：E=BLv₁+BLv₂
都勻速時：mg=FA=

B2L2(v1+v2)

R+2r

   ⑥
聯立⑤⑥得：v2=

1

2

(

mg(R+2r)

B2 L2

+

2gh

)
故桿2勻速時的速度是：v2=

1

2

(

mg(R+2r)

B2 L2

+

2gh

)．

兩桿在磁場中運動的v-t圖象如下所示：

點評：解答這類問題的關鍵是弄清電路結構，正確分析安培力，然后根據牛頓第二定律或者功能關系求解．