Question

如圖所示的豎直平面內有范圍足夠大，水平向左的勻強電場，在虛線的左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，一絕緣軌道由兩段直桿和一半徑為R的半圓環組成，固定在紙面所在的豎直平面內，PQ、MN水平且足夠長，半圓環MAP的磁場邊界左側，P、M點在磁場邊界線上．現在有一質量為m、帶電荷量為+q的中間開孔的小環穿在MN桿上，可沿軌道運動，它所受電場力為重力的

3

4

倍．不計一切摩擦．現將小球從M點右側的D點由靜止釋放，DM間距離x₀=3R．
（1）求小球第一次通過與O等高的A點時的速度v_A大小，及半圓環對小球作用力N的大小；
（2）小球的半圓環所能達到的最大動能E_k．

Answer 1

分析：（1）選擇D到A作為研究過程，運用動能定理求出A點的速度，根據牛頓第二定律，沿半徑方向上合力提供向心力，求出彎桿對小環作用力的大小．
（2）當小球所受的電場力與重力的合力方向與速度方向垂直，即沿軌道半徑向外時，小球的動能達到最大，根據力的合成，求出合力與豎直方向的夾角，根據動能定理求出最大動能E_k．

解答：解：（1）小球在A點時的速度為v_A，從D至A點過程，由動能定理得
  qE（x₀+R）-mgR-

1

2

m

v

2 A

-0
解得v_A=2

gR

設小球在A點時所受半圓環軌道的作用力大小為N，
由牛頓第二定律得
    N-qv_AB-qE=

m v 2 A

R

解得  N=2qB

gR

+

19

4

mg
（2）小球所受重力和電場力合力與豎直方向夾角為θ，tanθ=

qE

mg

=

3

4

，所以θ=37°．
設小球在圓環上C位置時速度做大，則此位置OC與豎直夾角為37°．
D至C過程，據動能定理有：
   qE（x₀+Rsin37°）-mgR（1-cos37°）=E_K-0
得最大動能E_k=2.5mgR
答：（1）小球第一次通過與O等高的A點時的速度v_A大小是2

gR

，及圓環對小球作用力N的大小是2qB

gR

+

19

4

mg；
（2）小球的半圓環所能達到的最大動能E_k是2.5mgR．

點評：運用動能定理解題需合適地選取研究的過程，根據動能定理列出表達式求解．本題可與單擺運動類比，找到小環動能最大的位置．