Question

如圖所示，豎直平面內的光滑絕緣軌道由斜面部分AB和圓弧部分BC平滑連接，且圓弧軌道半徑為R，整個軌道處于水平向右的勻強電場中．一個帶正電的小球（視為質點）從斜軌道上某一高度處由靜止釋放，沿軌道滑下（小球經過B點時無動能損失），已知小球的質量為m，電量為q，電場強度E=

mg

q

，求：
（1）小球到達圓軌道最高點C時速度的最小值？
（2）小球到達圓軌道最高點C速度最小值時，在斜面上釋放小球的位置距離地面有多高？（結論可以用分數表示）

Answer 1

分析：（1）小球恰好能沿圓軌道做圓周運動時，通過C點的速度最小，等效“最高點”是電場力和重力的合力指向圓心的點，臨界狀態是由電場力和重力的合力給物體提供做圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律求出在該點的最小速度．小球從等效最高點到C點過程，運用動能定理求解小球到達圓軌道最高點C時速度的最小值．
（2）對小球開始運動到C點的過程，由動能定理求解．

解答：解：（1）由于物體在重力場和電場的復合場中，受到電場力和重力的作用，所以在圓弧BC上有一個等效最高點D（如圖所示），若電場力和重力的合力給物體提供做圓周運動的合外力，則物體在D點有最小速度．
小球所受的電場力 Eq=

mg

q

q=mg，
則合力為 F_合=

2

mg       
在D點，由合力提供做圓周運動的合向心力時，小球在D點有最小速度．
則得：F_合=m

v2

R

，

2

mg=m

v 2 D

R

，
解得，D點速度的最小值 v_D=

2 gR

物體由D點到C點，動能定理：
  W_總=△E_k，
即 EqRsin45°-mgR（1-cos45°）=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 D

        
  mgR

2

2

-mgR+mgR

2

2

=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

2

gR
解得，C點速度最小值 v_C=

(3 2 -2)gR

（2）對整個過程，由動能定理可知：W_總=△E_k，
 即得：mg（h-2R）-Eq

h

tan60°

=

1

2

m

v

2 C

-0
       mg（h-2R）-mg

h

3

=

1

2

m(3

2

-2)gR
解得，h=

3 2 2 +1

1- 3 3

R
答：
（1）小球到達圓軌道最高點C時速度的最小值為

(3 2 -2)gR

．
（2）小球到達圓軌道最高點C速度最小值時，在斜面上釋放小球的位置距離地面高度為

3 2 2 +1

1- 3 3

R．

點評：解決本題的關鍵是確定物理最高點D，知道臨界狀態是：D點由合力充當向心力．運用動能定理時，要注意明確研究的過程，然后求解．