Question

如圖所示，水平放置的足夠長的平行金屬導軌MN、PQ的一端接有電阻R₀，不計電阻的導體棒ab靜置在導軌的左端MP處，并與MN垂直．以導軌PQ的左端為坐標原點O，建立直角坐標系xOy，Ox軸沿PQ方向．每根導軌單位長度的電阻為r．垂直于導軌平面的非勻強磁場磁感應強度在y軸方向不變，在x軸方向上的變化規(guī)律為：B=B₀+kx，并且x≥0．現(xiàn)在導體棒中點施加一垂直于棒的水平拉力F，使導體棒由靜止開始向右做勻加速直線運動，加速度大小為a．設導體棒的質量為m，兩導軌間距為L．不計導體棒與導軌間的摩擦，導體棒與導軌接觸良好，不計其余部分的電阻．
（1）請通過分析推導出水平拉力F的大小隨橫坐標x變化的關系式；
（2）如果已知導體棒從x=0運動到x=x₀的過程中，力F做的功為W，求此過程回路中產生的焦耳熱Q；
（3）若B₀=0.1T，k=0.2T/m，R₀=0.1Ω，r=0.1Ω/m，L=0.5m，a=4m/s²，求導體棒從x=0運動到x=1m的過程中，通過電阻R₀的電荷量q．

Answer 1

（1）設導體棒運動到坐標為x處的速度為v，由法拉第電磁感應定律得產生的感應電動勢為：
E=BLv…①
由閉合電路歐姆定律得回路中的電流為：
I=

BLv

R0+2rx

…②
由于棒做勻加速直線運動，所以有：
v=

2ax

…③
此時棒受到的安培力：
F_A=IBL…④
由牛頓第二定律得：
F-F_A=ma…⑤
由①②③④⑤聯(lián)立解得：F=ma+

(B0+kx)2L2 2ax

R0+2rx

（2）設導體棒在x=x₀處的動能為E_k，則由動能定理得：
E_k=max₀…⑥
由能量守恒與轉化定律得：W=Q+E_k…⑦
將⑥式代入⑦式解得：Q=W-max₀
（3）由①②兩式得：I=

(B0+kx)Lv

R0+2rx

…⑧
因為v=at，將題中所給的數(shù)值代入⑧式得：I=2t（A）… ⑨
可知回路中的電流與時間成正比，所以在0-t時間內，通過R₀的電荷量為：
q=

I

2

t=t²（C）
由勻加速直線運動規(guī)律得：t=

2x a

，
當x=x₀時，有：q=

2x0

a

（C）=0.5C
答：（1）水平拉力F的大小隨橫坐標x變化的關系式為F=ma+

(B0+kx)2L2 2ax

R0+2rx

；
（2）此過程回路中產生的焦耳熱Q為W-max₀；
（3）導體棒從x=0運動到x=1m的過程中，通過電阻R₀的電荷量q為0.5C．