Question

如圖所示，整個空間中存在豎直方向的勻強電場，場強大小E=10V/m，在x 軸下方存在兩個相鄰的勻強磁場區域Ⅰ、Ⅱ，磁場區域Ⅰ的寬度L₁=12cm，磁感應強度B₁=1.0T，方向垂直紙面向里，磁場區域Ⅱ的磁場方向垂直紙面向外．質量為m=10g電荷量為q=0.01C的帶正電微粒在y軸上P點由靜止釋放，經過一段時間，進入磁場區域Ⅰ．通過控制裝置，使質點每次通過x軸時，都使電場反向一次，但電場強度的大小不變．帶電微粒在磁場區域Ⅰ中，速度方向改變37°時，進入磁場區域Ⅱ．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．
（1）求P點的坐標；
（2）如果要使微粒能返回P點，求磁場區域Ⅱ磁感應強度B₂的值和粒子從開始運動到第一次返回P點所需的時間．

Answer 1

分析：（1）微粒從P到O過程，受重力和電場力，根據動能定理列式；帶電微粒在磁場區域Ⅰ中，重力和電場力平衡，洛倫茲力提供向心力，速度方向改變37°時，根據幾何關系求解出半徑，然后牛頓第二定律列式；最后聯立求解得到P點坐標和在磁場中的速度；
（2）先畫出軌跡，由幾何關系得到第Ⅱ磁場區域中圓周運動的半徑，然后根據洛倫茲力提供向心力列式求解磁感應強度，得到圓心角，結合對稱性求解運動時間．

解答：解：（1）在x軸上方，由動能定理，得
（mg+Eq）y=

1

2

mv2
在x軸下mg=Eq=0.1N，且方向相反，微粒只受洛侖茲力，作勻速圓周運動，在磁場區域Ⅰ中
qvB₁=m

v2

R1

由幾何關系
R₁=

L1

sin37°

=0.20m
由以上各式可得：v=0.2m/s；y=10^-3m
（2）微粒能返回P點，在磁場區域Ⅱ的軌跡圓心必在y軸上，如圖所示，（兩等圓與另一圓三者都是外切關系時，第三圓的圓心必在兩等圓圓心連線的中垂線上）則有

R₂cos37°=（R₁-R₁cos37°）
R₂=

mv

qB2

可得：B₂=4.0T
在x軸上方，由動量定理
（mg+Eq）t₁=mv
在磁場區域Ⅰ，微粒的運動周期：T₁=

2πm

qB1

轉過的角度為37°
運動時間：t2=

37

360

T1
在磁場區域Ⅱ，微粒的運動周期：T₂=

2πm

qB2

轉過的角度為：360°-53°×2=254°
運動時間：t3=

254

360

T2
總時間：t=2t₁+2t₂+t₃=2.42s
答：（1）P點的坐標為（0，10^-3m）；
（2）磁場區域Ⅱ磁感應強度B₂的值為為4.0T，粒子從開始運動到第一次返回P點所需的時間為2.42s．

點評：本題關鍵明確粒子的運動規律，要明確在復合場中，當做勻速圓周運動時，重力和電場力是平衡的，畫出軌跡，結合幾何關系分析是突破口．