Question

如圖所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為2L，分別帶有等量的負(fù)、正電荷，在兩板間形成電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)．A板上有一小孔（它的存在對(duì)兩板間勻強(qiáng)電場(chǎng)分布的影響可忽略不計(jì)），孔的下沿右側(cè)有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為g（g＞0）的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），在外力作用下靜止在軌道的中點(diǎn)P處．孔的下沿左側(cè)也有一與板垂直的水平光滑絕緣軌道，軌道上距A板L處有一固定檔板，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕彈簧左端固定在擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q．撤去外力釋放帶電小粒，它將在電場(chǎng)力作用下由靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，可認(rèn)為小球與Q接觸過(guò)程中不損失機(jī)械能．小球從接觸Q開(kāi)始，經(jīng)歷時(shí)間To第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回．由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開(kāi)Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時(shí)小球電荷量的

1

k

（k＞1）求：
（l）小球第一次接觸Q時(shí)的速度大小；
（2）假設(shè)小球第n次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處沒(méi)有到達(dá)B板，試導(dǎo)出小球從第n次接觸Q，到本次向右運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處的時(shí)間Tn的表達(dá)式；
（3）若k=2，且小孔右側(cè)的軌道粗糙與帶電小球間的滑動(dòng)摩擦力為f=

qE

4

，試求帶電小球最終停止的位置距P點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）小球在電場(chǎng)力作用下由靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解第一次接觸Q時(shí)的速度大小．
（2）小球從第n次接觸Q，到本次向右運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處的時(shí)間包括兩部分，一部分是小球從接觸Q開(kāi)始，經(jīng)歷時(shí)間To第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回，另一部分是離開(kāi)Q向右做減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求得小球第1次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)距A板的距離，再求出第二次，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)小球第一次接觸Q的速度為v，接觸Q前的加速度為a．
根據(jù)牛頓第二定律有 qE=ma                                   
對(duì)于小球從靜止到與Q接觸前的過(guò)程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有v²=2al    
聯(lián)立解得v=

2qEL m

              
（2）小球每次離開(kāi)Q的速度大小相同，等于小球第一次與Q接觸時(shí)速度大小
v=

2qEL m

                        
設(shè)小球第n次離開(kāi)Q向右做減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a_n，速度由v減為零
所需時(shí)間為t_n，小球離開(kāi)Q所帶電荷量為q_n，則
q_nE=ma_n   
t_n=

v

an

                                      
q_n=

q

kn

                               
聯(lián)立解得t_n=

mv

qE

kn                              
小球從第n次接觸Q，到本次向右運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處的時(shí)間
T_n=2T₀+

2mL qE

kⁿ，
（3）假設(shè)小球第1次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)距A板距離為L(zhǎng)₁，則
（qE-f）L-（

qE

k

+f）L₁=0       
即L₁=L              
假設(shè)小球第2次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)距A板距離為L(zhǎng)₂，則
（qE-f）L-2fL₁-（

qE

k2

+f）L₂=0
即L₂=

1

2

L          
又因此時(shí)電場(chǎng)力F=

qE

k2

=

qE

4

=f，即帶電小球可保持靜止
帶電小球最終停止的位置距P點(diǎn)的距離L₃為
L₃=L-

L

2

=

L

2

 
答：（l）小球第一次接觸Q時(shí)的速度大小是

2qEL m

；
（2）小球從第n次接觸Q，到本次向右運(yùn)動(dòng)至最遠(yuǎn)處的時(shí)間Tn的表達(dá)式是T_n=2T₀+

2mL qE

kⁿ；
（3）帶電小球最終停止的位置距P點(diǎn)的距離是

L

2

．

點(diǎn)評(píng)：了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問(wèn)題．
要注意小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各個(gè)物理量的變化．