Question

（2012?丹東模擬）如圖所示，坐標平面的第I象限內存在大小為E、方向水平向左的勻強電場，足夠長的擋板MN垂直x軸放置且距離點O為d，第II象限內存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m，帶電量為-q的粒子（重力忽略不計）若自距原點O為L的A點以一定的速度垂直x軸進入磁場，則粒子恰好到達O點而不進入電場．現該粒子仍從A點進入磁場，但初速度大小為原來的4倍，為使粒子進入電場后能垂直到達擋板MN上，求：
（1）粒子第一次從A點進入磁場時，速度的大小；
（2）粒子第二次從A點進入磁場時，速度方向與x軸正向間的夾角大小；
（3）粒子打到擋板上時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）粒子進入勻強磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力．粒子自距原點O為L的A點以一定的速度垂直x軸進入磁場，恰好到達O點，軌跡為半圓，則知軌跡半徑r=

L

2

．由牛頓第二定律可求出粒子第一次從A點進入磁場時速度的大小．
（2）粒子第二次從A點進入磁場時，初速度大小為原來的4倍，由r=

mv

qB

可求出軌跡的半徑，為使粒子進入電場后能垂直到達擋板MN上，粒子必須平行于x軸進入電場，根據幾何知識求出速度方向與x軸正向間的夾角大小．
（3）在電場中電場力對粒子做正功，根據動能定理求解粒子打到擋板上時的速度大小．

解答：解：（1）粒子自距原點O為L的A點以一定的速度垂直x軸進入磁場，恰好到達O點，軌跡為半圓，則得軌跡半徑為r=

L

2

粒子進入勻強磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，則有：
qv₀B=m

v 2 0

r

，解得：v₀=

qBL

2m

（2）設初速度大小為原來的4倍時半徑為r₁、速度為v₁=4v₀，由r=

mv

qB

得：r₁=4r=2L，
為使粒子進入電場后能垂直到達擋板MN上，粒子必須平行于x軸進入電場，設初速度方向與x軸正向間的夾角大小為θ，由幾何關系知：
sinθ=

OA

O′A

=

L

2L

=

1

2

故 θ=30°
（3）在電場中電場力對粒子做正功，根據動能定理得：
qEd=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

解得：v₂=

2qEd m + 4q2B2L2 m2

答：
（1）粒子第一次從A點進入磁場時，速度的大小為

qBL

2m

；
（2）粒子第二次從A點進入磁場時，速度方向與x軸正向間的夾角大小30°；
（3）粒子打到擋板上時的速度大小為

2qEd m + 4q2B2L2 m2

．

點評：本題帶電粒子先磁場中做勻速圓周運動，后電場中做勻加速直線運動，畫軌跡是帶電粒子在磁場中運動問題基本的處理方法．