Question

（20）導體切割磁感線的運動可以從宏觀和微觀兩個角度來認識。如圖所示，固定于水平面的U形導線框處于豎直向下的勻強磁場中，金屬直導線MN在與其垂直的水平恒力F的作用下，在導線框上以速度v做勻速運動，速度v與恒力F方向相同，導線MN始終與導線框形成閉合電路，已知導線MN電阻為R，其長度L，恰好等于平行軌道間距，磁場的磁感應強度為B，忽略摩擦阻力和導線框的電阻。

（1）通過公式推導驗證：在時間內，F對導線MN所做的功W等于電路獲得的電能，也等于導線MN中產生的焦耳熱Q。
（2）若導線的質量m=8.0g，長度L=0.1m，感應電流I=1.0A，假設一個原子貢獻1個自由電子，計算導線MN中電子沿導線長度方向定向移動的平均速率v（下表中列出了一些你可能用到的數據）。

（3）經典物理學認為，金屬的電阻源于定向運動自由電子和金屬離子（金屬原子失去電子后剩余部分）的碰撞，展開你想象的翅膀，給出一個合理的自由電子運動模型：在此基礎上，求出導線MN中金屬離子對一個自由電子沿導線長度方向的平均作用力的表達式。

Answer 1

（1）見解析（2） （3）

試題分析：
（1）導線運動時產生的感應電動勢為，
導線中的電流為，
導線受到的安培力為，
物體勻速運動，拉力和安培力相等，所以拉力為，
拉力F做功，將F代入得到
電能為，
產生的焦耳熱為，由此可見
（2）導線MN中的總電子數N=，
導線MN中電子的電量為
通過導線的電流為
這些電量通過導線橫截面積的時間為
聯立以上各式得
（3）方法一：動量解法
設電子在每一次碰撞結束至下一次碰撞結束之間的運動都相同，設經歷的時間為，電子的動量變化為零。
因為導線MN的運動，電子受到沿導線方向的洛倫茲力為的作用，有
沿導線方向，電子只受到金屬離子的作用力和作用，所以
聯立解得電子受到的平均作用力為
方法二：能量解法
設電子從導線的一端到達另一端經歷的時間為t，在這段時間內，通過導線一端的電子總數為
電阻上產生的焦耳熱是由于克服金屬離子對電子的平均作用力做功而產生的，有
在t時間內電子運動過程中克服阻力所做的功，可以表示為
電流產生的焦耳熱為：
聯立解得