Question

【題目】如圖所示，一質量為m、長為L的木板A靜止在光滑水平面上，其左側固定一勁度系數為k的水平輕質彈簧，彈簧原長為l0，右側用一不可伸長的輕質細繩連接于豎直墻上。現使一可視為質點小物塊B以初速度v0從木板的右端無摩擦地向左滑動，而后壓縮彈簧。設B的質量為λm，當時細繩恰好被拉斷。已知彈簧彈性勢能的表達式，其中k為勁度系數，x為彈簧的壓縮量。求：

（1）細繩所能承受的最大拉力的大小Fm

（2）當時，小物塊B滑離木板A時木板運動位移的大小sA

（3）當λ＝2時，求細繩被拉斷后長木板的最大加速度am的大小

（4）為保證小物塊在運動過程中速度方向不發生變化，λ應滿足的條件

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】

試題分析：⑴細繩恰好被拉斷時，B的速度為0，細繩拉力為Fm，設此時彈簧的壓縮量為x0，則有：

由能量關系，有：

解得：

⑵細繩拉斷后小物塊和長木板組成的系統動量守恒，有：

則小物塊滑離木板時木板二者的位移關系為：

又

解得：

⑶當時設細繩被拉斷瞬間小物塊速度大小為v1，則有：

細繩拉斷后，小物塊和長木板之間通過彈簧的彈力發生相互作用，當彈簧被壓縮至最短時，長木板的加速度最大，此時小物塊和長木板的速度相同，設其大小為v，彈簧壓縮量為x，則由動量守恒和能量守恒有：

對長木板，有：

解得：

⑷由題意，時，細繩不會被拉斷，木板保持靜止，小物塊向左運動壓縮彈簧后必將反向運動。

，小物塊向左運動將彈簧壓縮x0后細繩被拉斷，設此時小物塊速度大小為u1

由能量關系，有：

此后在彈簧彈力作用下小物塊做減速運動。設彈簧恢復原長時小物塊速度恰減小為零，此時木板的速度為u2，則有：

解得：

所以為保證小物塊在運動過程中速度方向不發生變化，λ應滿足的條件為：