Question

【題目】某種彈射裝置的示意圖如圖所示，光滑的水平導(dǎo)軌MN右端N處于傾斜傳送帶理想連接，傳送帶長度L=15.0m，皮帶以恒定速率v=5m/s順時針轉(zhuǎn)動，三個質(zhì)量均為m=1.0kg的滑塊A、B、C置于水平導(dǎo)軌上，B、C之間有一段輕彈簧剛好處于原長，滑塊B與輕彈簧連接，C未連接彈簧，B、C處于靜止?fàn)顟B(tài)且離N點足夠遠(yuǎn)，現(xiàn)讓滑塊A以初速度v0=6m/s沿B、C連線方向向B運(yùn)動，A與B碰撞后粘合在一起．碰撞時間極短，滑塊C脫離彈簧后滑上傾角θ=37°的傳送帶，并從頂端沿傳送帶方向滑出斜拋落至地面上，已知滑塊C與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.8，重力加速度g=10m/s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）滑塊A、B碰撞時損失的機(jī)械能；
（2）滑塊C在傳送帶上因摩擦產(chǎn)生的熱量Q；
（3）若每次實驗開始時滑塊A的初速度v0大小不相同，要使滑塊C滑離傳送帶后總能落至地面上的同一位置，則v0的取值范圍是什么？（結(jié)果可用根號表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：A與B位于光滑的水平面上，系統(tǒng)在水平方向的動量守恒，設(shè)A與B碰撞后共同速度為v1，選取向右為正方向，對A、B有：

mv0=2mv1…①

碰撞時損失機(jī)械能 …②

解得△E=9J

答：滑塊A、B碰撞時損失的機(jī)械能是9J；

（2）解：設(shè)A、B碰撞后，彈簧第一次恢復(fù)原長時AB的速度為vB，C的速度為vC．

由動量守恒：2mv1=2mvB+mvC…③

由機(jī)械能守恒： …④

解得：vc=4m/s

C以vc滑上傳送帶，假設(shè)勻加速的直線運(yùn)動位移為S時與傳送帶共速，由運(yùn)動學(xué)公有：

式

結(jié)合： ，

聯(lián)立解得：x=11.25m＜L

加速運(yùn)動的時間為t，有： …⑤

所以相對位移△x=vt﹣x

代入數(shù)據(jù)得：△x=1.25m…⑥

摩擦生熱Q=umgcosθ△x=8J

答：滑塊C在傳送帶上因摩擦產(chǎn)生的熱量是8J；

（3）解：設(shè)A的最大速度為vmax，滑塊C與彈簧分離時C的速度為vc1，AB的速度為vB1，則C在傳送帶上一直做加速度為a2的勻減速直線運(yùn)動直到P點與傳送帶共速，有： …⑦

加速度：

解得：

設(shè)A的最小速度為vmin，滑塊C與彈簧分離時C的速度為vC2，AB的速度為vB1，則C在傳送帶上一直做加速度為a1的勻加速直線運(yùn)動直到P點與傳送帶共速，有： …⑧

解得： ．

對A、B、C和彈簧組成的系統(tǒng)從AB碰撞后到彈簧第一次恢復(fù)原長的過程中，有：

mvmax=2mvB1+mcC1…⑨

機(jī)械能守恒： …⑩

解得 ，

同理，

所以

答：若每次實驗開始時滑塊A的初速度v0大小不相同，要使滑塊C滑離傳送帶后總能落至地面上的同一位置，則v0的取值范圍是 ．

【解析】（1）A、B碰撞過程水平方向的動量守恒，由此求出二者的共同速度；由功能關(guān)系即可求出損失的機(jī)械能；（2）A、B碰撞后與C作用的過程中ABC組成的系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律與能量守恒定律可以求出C與AB分開后的速度，C在傳送帶上做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律求出加速度，然后應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動規(guī)律求出C相對于傳送帶運(yùn)動時的相對位移，由功能關(guān)系即可求出摩擦產(chǎn)生的熱量．（3）應(yīng)用動量守恒定律、能量守恒定律與運(yùn)動學(xué)公式可以求出滑塊A的最大速度和最小速度．